Determinan, Invers dan Transpose Matriks

 Bagaimana Menghitung Determinan Matriks ?

 Dalam belajar materi matriks membutuhkan ketelitian, agar tidak terjadi kekeliruan saat menghitung. Apalagi jika kita menghitung matriks dengan ordo tinggi, misalnya orde 4×4. Nah Rumus Matematika kali ini akan memberikan materi matriks mengenai determinan. Karena bagi sebagian siswa materi determinan matriks dengan ordo tinggi memerlukan tenaga ektra untuk mengerjakannya. Jadi marilah kita belajar bersama, bagaimana menghitung determinan matriks.

Sebuah matriks agar dapat dihitung determinannya memiliki syarat yaitu harus merupakan matriks persegi.

1. Determinan Matriks Ordo 2×2

Perhatikan matriks A diatas, matriks A merupakan matriks yang berordo 2×2 dengan elemen a dan d terletak pada diagonal utama pertama, sedangkan b dan c terletak pada diagonal kedua. Determinan dari matriks A dinotasikan “det A” atau |A| merupakan suatu bilangan yang diperoleh dengan mengurangi hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal kedua.

Sehingga dapat diperoleh rumus det A sebagai berikut.

2. Determinan Matriks ordo 3×3

Terdapat dua cara untuk menentukan determinan matriks berordo 3×3, yaitu metode sarrus dan metode minor-kofaktor.

Aturan Sarrus

Perhatikanlah alur berikut untuk menentukan determinan dari matriks berordo 3×3 dengan aturan sarrus.

Metode Minor-Kofaktor

Misalkan matriks A dituliskan dengan [aij] . Minor elemen aij yang dinotasikan dengan Mij merupakan determinan setelah elemen-elemen baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan. Misalnya dari matriks ber ordo 3×3 kita hilangkan baris ke-2 kolom ke-1 maka :

Kofaktor elemen aij dinotasikan Kij yang merupakan hasil kali (-1)i+j dengan minor elemen tersebut. Sehingga kofaktor suatu matriks dirumuskan dengan

Berdasarkan matriks A diatas, kita peroleh misalnya kofaktor a21 dan a13 berturut-turut adalah

Kofaktor dari matriks A adalah

Nilai dari suatu determinan merupakan hasil penjumlahan dari perkalian elemen-elemen suatu baris (kolom) dengan kofaktornya. Untuk menghitung determinan, kita dapat memilih terlebih dahulu sebuah baris (atau kolom) kemudian kita gunakan aturan diatas.

Referensi :

http://rumus-matematika.com/bagaimana-menghitung-determinan-matriks/

Operasi Matriks

 Operasi Matriks dan Sifat-Sifatnya

Matriks adalah sebuah kumpulan bilangan yang disusun dengan baris atau secara kolom atau bisa juga dengan disusun kedua-duanya dan di apit dalam tanda kurung. Elemen – elemen matriks terdiri dari bilangan – bilangan yang membentuk di dalam suatu matriks. Matriks ini sendiri digunakan sebagai menyederhana penyampaian data, sehingga akan lebih mudah untuk diolah selanjutnya.

Perkalian Matriks

Pengertian rumus perkalian matriks ialah nilai matriks yang dapat dikalikan dengan cara setiap baris yang dikalikan dengan tiap kolom dengan jumlah pada baris yang sama. Sedangkan untuk rumus matematika perkalian matriks ini sebenarnya merupakan suatu turunan dari operasi dasar matriks karena macam matriks matematika menurut operasi dasar matriks nya dibagi antara lain rumus penjumlahan matriks, rumus pengurangan matriks, rumus perkalian skalar matriks dan rumus mencari perkalian matriks.

Jenis – Jenis Matriks

Sedangkan untuk jenis rumus matriks dibagi antara lain :

• Rumus matematika matriks baris ialah matriks yang mempunyai satu baris saja

• Rumus menghitung matriks kolom ialah matriks yang hanya mempunyai satu kolom

• Rumus mencari matriks nol ialah matriks matematika yang semua komponenya bernilai bilangan nol

• Matriks persegi ialah matriks yg memiliki baris dan kolom yg sama banyaknya

• Rumus matriks matematika segitiga alas

• Matriks diagonal

• Matriks segitiga bawah

• Matriks skalar

• Matriks identitas

Dari semua jenis dan macam matriks matematika diatas, disini kami akan menjelaskan dan memberikan penjelasan kepada anda tentang rumus perkalian matriks dan rumus perkalian skalar matriks matematika secara lengkap dan detail karena disini kami juga akan memberikan contoh soal perkalian matriks sehingga bisa memudahkan anda dalam memahami rumus menghitung perkalian matriks yang sudah kami jelaskan.

Cara Menghitung Rumus Perkalian Matriks dan Rumus Perkalian Skalar Matriks

Jika anda melihat gambar diatas maka melihat adanya kolom dan baris yang digunakan untuk menentukan dan menghitung nilai Matriks. Kolom dan Garis memang sangat dibutuhkan didalam menghitung nilai Matriks karena Pengertian Matriks Matematika sendiri yaitu suatu bilangan yang tersusun dalam bentuk menyerupai persegi panjang dg tanda kurung () atau dengan tanda kurung siku [] atau disusun didalam kolom dan baris yg mempunyai ukuran nilai dan dlm hal ini disebut dengan Ordo Matriks.

Rumus Perkalian Matriks

Operasi cara mencari rumus perkalian matriks matematika mempunyai metode rumus menghitung matriks yang sangat berbeda dengan operasi menghitung nilai penjumlahan atau pengurangan matriks.

Metode yang diterapkan di dalam rumus menghitung perkalian matriks ialah dengan memasangkan baris pada matriks pertama dengan kolom pada matriks kedua tetapi kedua nilai matriks ini bisa di kalian jika banyak kolom pada matriks pertama mempunyai nilai yang sama dengan banyak baris pada matriks kedua dan hasil perkalian matriks akan mempunyai baris yang sama banyak dengan baris matriks pertama.

Rumus Perkalian Matriks Skalar

Sedangkan untuk penjelasan dari rumus perkalian skalar matriks dilakukan dengan cara konstanta yang artinya nilai matriks bisa dikalikan dengan cara mengalikan setiap eleman atau komponen nilai matriks dengan skalar. Misalnya nilai Matriks A dikalikan dengan skalar K maka setiap eleman atau komponen Matriks A dikali dengan k.

Rumus Jumlah dan Selisih Sudut

 

Luas Segitiga

 

Aturan Sinus, Cosinus dan Luas Segitiga

1. Aturan Sinus

Untuk memahami asal dari aturan sinus dalam segitiga, perhatikan △ ACD dan △BCD pada gambar di bawah ini :

Sehingga untuk setiap segitiga sembarang berlaku Aturan Sinus sebagai berikut :

2. Aturan Cosinus

Perhatikan gambar berikut !

 b²  = CD²  +  AD² ..... (1)

Pada △BCD

Sin B = CD  ⇔ CD = a. Sin B... (2)
               a

Cos B = BD  ⇔ BD = a. Cos B... (3)
                a

AD = AB - BD = c - a. Cos B.... (4)

Jika kita substitusi ke persamaan (1) maka didapatkan

b² = (a. Sin B)² + (c - a. Cos B)²
b² = a². Sin² B + c² - 2.a.c. Cos b + a² Cos² B
b² = a² (Sin² B + Cos² b) + c² - 2.a.c.Cos B
b² = a² + c² - 2.a.c.Cos B

Maka didapatkan Aturan Cosinus sebagai berikut:

Dari aturan cosinus tersebut  kita menggunakan cara aljabar, maka akan didapat rumus untuk menentukan nilai dari cosinus salah satu sudut dalam segitiga.

               a²   = b² + c² - 2.b.c.Cos A
2.b.c.Cos A =  b² + c² - a²
         Cos A =  b² + c² - a²
                             2.b.c

⇔   Cos B =  a² + c² - b²

                             2.a.c

 

⇔   Cos C =  a² + b² - c²

                             2.a.b

LATIHAN SOAL PELUANGSUATU KEJADIAN

 Soal dan Pembahasan

1.      Apa itu Peluang ?

        Pembahasan:

      Peluang adalah suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang tidak pasti (uncertainty event).

2.      Beberapa istilah dalam Peluang yang perlu diketahui, jelaskan istilah istilah dibawah ini :

        a. Ruang Sampel

        b. Titik Sampel

        c. Kejadian

        d. n(S)

        Pembahasan:

        a.  Ruang Sampel

        Himpunan semua kejadian atau hasil yang mungkin dari suatu percobaan.

       b. Titik Sampel

        Titik Sampel adalah anggota dari ruang sampel

        c. Kejadian

        Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel.

        d. n(S)

               n(S) adalah notasi untuk menyatakan banyaknya anggota sampel

3.      Jika kita melempar sebuah dadu sebanyak 30 kali, berapa frekuensi harapan muncul mata 5..?

        Pembahasan:

        Ruang Sampel (S) :{1, 2, 3, 4, 5, 6}

        Banyaknya ruang sampel, n(S) = 6

        Kejadian muncul angka 5 :

        5 = {5} → n(5) = 1

        Peluang muncul angka 5 untuk satu kali lemparan adalah :

        P(5)= n(5)/n(6)

        P(5)= 1/6

 

        Frekuensi harapan muncul angka 5 dari 30 kali percobaan adalah :

        f(A) = n x P(A) 

        f(5) = 30 x P(5) 

        f(5) = 30 x 1/6

         f(5) = 5

4.   Dua buah dadu dilemparkan bersama-sama satu kali. Peluang muncul jumlah angka kedua dadu sama dengan 3 atau 10 adalah....

        Pembahasan:

        Dua kejadian pada pelemparan dua buah dadu, n(S) = 36,

        A = jumlah angka adalah 3

        B = jumlah angka adalah 10

        Dari ruang sampel pelemparan dua buah dadu, diperoleh

        A = {(1, 2), (2, 1)}

        B = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)}

         n (A) = 2 → P(A) = 2/36

        n (B) = 3 → P(B) = 3/36

        Tidak ada yang sama antara A dan B, jadi n (A ∩B) = 0

         Sehingga peluang "A atau B" adalah

        P (A ∪ B) = P(A) + P(B)

                        = 2/36 + 3/36

                          = 5/36

5.  Jika peluang Darto dapat menyelesaikan suatu soal adalah 0,4 dan peluang Mamat dapat menyelesaikan soal yang sama adalah 0,3 maka peluang mereka berdua dapat menyelesaikan soal tersebut adalah …

        Pembahasan:

        P(A) = 0,4

        P(B) = 0,3

        Peluang Darto dan Mamat dapat menyelesaikan soal:

        

6.    Jika kejadian A dan B tidak saling bebas, kejadian B dipengaruhi oleh kejadian A atau kejadian B dengan syarat A, dirumuskan:

        Pembahasan:

7.   Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang munculnya mata dadu ganjil dengan syarat munculnya kejadian mata dadu prima lebih dahulu.

        Pembahasan:

        S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6

        A = Kejadian munculnya angka prima

        A = {2, 3, 5}, n(A) = 3

        B = Kejadian muncul mata dadu ganjil

        B = {1, 3, 5}

        Peluang munculnya mata dadu ganjil dengan syarat munculnya kejadian mata dadu                 prima lebih dahulu:

PELUANG KEJADIAN

 Peluang Kejadian

 

Misalnya S adalah ruang sampel dari suatu percobaan dengan setiap anggota S memiliki kesempatan muncul yang sama dan K adalah suatu kejadian dengan K⊂S, maka peluang kejadian K adalah:

Contoh:

Sebuah dadu dilempar undi satu kali, peluang muncul angka bilangan prima adalah...

Jawab:

Ruang sampel dadu (S) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  maka n(S) = 6

Muncul angka prima (K) = {2, 3, 5} maka n(K) = 3

Sehingga peluang muncul angka bilangan prima yaitu:

 

A.     Peluang komplemen dari suatu kejadian

P(K) adalah peluang kejadian K dan P(Kc) = P(K’) adalah peluang kejadian bukan K, maka berlaku:

Contoh:

Peluang Rina lulus ujian Matematika adalah 0,89, maka peluang Rina tidak lulus ujian Matematika adalah…

Jawab:

K = Kejadian Rina lulus ujian Matematika = 0,89

Kc = Kejadian Rina tidak lulus ujian Matematika

Peluang Rina tidak lulus ujian Matematika:

P(Kc) = 1 – P(K) = 1 – 0,89 = 0,11

 

E. Frekuensi Harapan

Frekuensi  harapan adalah banyaknya kejadian yang diharapkan dapat terjadi pada suatu percobaan.

Jika suatu percobaan dilakukan sebanyak n kali dan nilai kemungkinan terjadi kejadian K setiap percobaan adalah P(K), maka frekuensi harapan kejadian K adalah:

Contoh:

Sebuah dadu dilempar sebanyak 120 kali, maka frekuensi harapan munculnya mata dadu faktor dari 6 adalah...

Jawab:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ↔ n(S) = 6

K : Faktor dari 6 = {1, 2, 3, 6} ↔ n(A) = 4

n = Banyak lemparan = 120