Aturan Sinus, Cosinus dan Luas Segitiga

1. Aturan Sinus

Untuk memahami asal dari aturan sinus dalam segitiga, perhatikan △ ACD dan △BCD pada gambar di bawah ini :

Sehingga untuk setiap segitiga sembarang berlaku Aturan Sinus sebagai berikut :

2. Aturan Cosinus

Perhatikan gambar berikut !

 b²  = CD²  +  AD² ..... (1)

Pada △BCD

Sin B = CD  ⇔ CD = a. Sin B... (2)
               a

Cos B = BD  ⇔ BD = a. Cos B... (3)
                a

AD = AB - BD = c - a. Cos B.... (4)

Jika kita substitusi ke persamaan (1) maka didapatkan

b² = (a. Sin B)² + (c - a. Cos B)²
b² = a². Sin² B + c² - 2.a.c. Cos b + a² Cos² B
b² = a² (Sin² B + Cos² b) + c² - 2.a.c.Cos B
b² = a² + c² - 2.a.c.Cos B

Maka didapatkan Aturan Cosinus sebagai berikut:

Dari aturan cosinus tersebut  kita menggunakan cara aljabar, maka akan didapat rumus untuk menentukan nilai dari cosinus salah satu sudut dalam segitiga.

               a²   = b² + c² - 2.b.c.Cos A
2.b.c.Cos A =  b² + c² - a²
         Cos A =  b² + c² - a²
                             2.b.c

⇔   Cos B =  a² + c² - b²

                             2.a.c

 

⇔   Cos C =  a² + b² - c²

                             2.a.b