Aturan Sinus, Cosinus dan Luas Segitiga

1. Aturan Sinus

Untuk memahami asal dari aturan sinus dalam segitiga, perhatikan △ ACD dan △BCD pada gambar di bawah ini :

Sehingga untuk setiap segitiga sembarang berlaku Aturan Sinus sebagai berikut :

2. Aturan Cosinus

Perhatikan gambar berikut !

 b²  = CD²  +  AD² ..... (1)

Pada △BCD

Sin B = CD  ⇔ CD = a. Sin B... (2)
               a

Cos B = BD  ⇔ BD = a. Cos B... (3)
                a

AD = AB - BD = c - a. Cos B.... (4)

Jika kita substitusi ke persamaan (1) maka didapatkan

b² = (a. Sin B)² + (c - a. Cos B)²
b² = a². Sin² B + c² - 2.a.c. Cos b + a² Cos² B
b² = a² (Sin² B + Cos² b) + c² - 2.a.c.Cos B
b² = a² + c² - 2.a.c.Cos B

Maka didapatkan Aturan Cosinus sebagai berikut:

Dari aturan cosinus tersebut  kita menggunakan cara aljabar, maka akan didapat rumus untuk menentukan nilai dari cosinus salah satu sudut dalam segitiga.

               a²   = b² + c² - 2.b.c.Cos A
2.b.c.Cos A =  b² + c² - a²
         Cos A =  b² + c² - a²
                             2.b.c

⇔   Cos B =  a² + c² - b²

                             2.a.c

 

⇔   Cos C =  a² + b² - c²

                             2.a.b

LATIHAN SOAL PELUANGSUATU KEJADIAN

 Soal dan Pembahasan

1.      Apa itu Peluang ?

        Pembahasan:

      Peluang adalah suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang tidak pasti (uncertainty event).

2.      Beberapa istilah dalam Peluang yang perlu diketahui, jelaskan istilah istilah dibawah ini :

        a. Ruang Sampel

        b. Titik Sampel

        c. Kejadian

        d. n(S)

        Pembahasan:

        a.  Ruang Sampel

        Himpunan semua kejadian atau hasil yang mungkin dari suatu percobaan.

       b. Titik Sampel

        Titik Sampel adalah anggota dari ruang sampel

        c. Kejadian

        Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel.

        d. n(S)

               n(S) adalah notasi untuk menyatakan banyaknya anggota sampel

3.      Jika kita melempar sebuah dadu sebanyak 30 kali, berapa frekuensi harapan muncul mata 5..?

        Pembahasan:

        Ruang Sampel (S) :{1, 2, 3, 4, 5, 6}

        Banyaknya ruang sampel, n(S) = 6

        Kejadian muncul angka 5 :

        5 = {5} → n(5) = 1

        Peluang muncul angka 5 untuk satu kali lemparan adalah :

        P(5)= n(5)/n(6)

        P(5)= 1/6

 

        Frekuensi harapan muncul angka 5 dari 30 kali percobaan adalah :

        f(A) = n x P(A) 

        f(5) = 30 x P(5) 

        f(5) = 30 x 1/6

         f(5) = 5

4.   Dua buah dadu dilemparkan bersama-sama satu kali. Peluang muncul jumlah angka kedua dadu sama dengan 3 atau 10 adalah....

        Pembahasan:

        Dua kejadian pada pelemparan dua buah dadu, n(S) = 36,

        A = jumlah angka adalah 3

        B = jumlah angka adalah 10

        Dari ruang sampel pelemparan dua buah dadu, diperoleh

        A = {(1, 2), (2, 1)}

        B = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)}

         n (A) = 2 → P(A) = 2/36

        n (B) = 3 → P(B) = 3/36

        Tidak ada yang sama antara A dan B, jadi n (A ∩B) = 0

         Sehingga peluang "A atau B" adalah

        P (A ∪ B) = P(A) + P(B)

                        = 2/36 + 3/36

                          = 5/36

5.  Jika peluang Darto dapat menyelesaikan suatu soal adalah 0,4 dan peluang Mamat dapat menyelesaikan soal yang sama adalah 0,3 maka peluang mereka berdua dapat menyelesaikan soal tersebut adalah …

        Pembahasan:

        P(A) = 0,4

        P(B) = 0,3

        Peluang Darto dan Mamat dapat menyelesaikan soal:

        

6.    Jika kejadian A dan B tidak saling bebas, kejadian B dipengaruhi oleh kejadian A atau kejadian B dengan syarat A, dirumuskan:

        Pembahasan:

7.   Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang munculnya mata dadu ganjil dengan syarat munculnya kejadian mata dadu prima lebih dahulu.

        Pembahasan:

        S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6

        A = Kejadian munculnya angka prima

        A = {2, 3, 5}, n(A) = 3

        B = Kejadian muncul mata dadu ganjil

        B = {1, 3, 5}

        Peluang munculnya mata dadu ganjil dengan syarat munculnya kejadian mata dadu                 prima lebih dahulu:

PELUANG KEJADIAN

 Peluang Kejadian

 

Misalnya S adalah ruang sampel dari suatu percobaan dengan setiap anggota S memiliki kesempatan muncul yang sama dan K adalah suatu kejadian dengan K⊂S, maka peluang kejadian K adalah:

Contoh:

Sebuah dadu dilempar undi satu kali, peluang muncul angka bilangan prima adalah...

Jawab:

Ruang sampel dadu (S) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  maka n(S) = 6

Muncul angka prima (K) = {2, 3, 5} maka n(K) = 3

Sehingga peluang muncul angka bilangan prima yaitu:

 

A.     Peluang komplemen dari suatu kejadian

P(K) adalah peluang kejadian K dan P(Kc) = P(K’) adalah peluang kejadian bukan K, maka berlaku:

Contoh:

Peluang Rina lulus ujian Matematika adalah 0,89, maka peluang Rina tidak lulus ujian Matematika adalah…

Jawab:

K = Kejadian Rina lulus ujian Matematika = 0,89

Kc = Kejadian Rina tidak lulus ujian Matematika

Peluang Rina tidak lulus ujian Matematika:

P(Kc) = 1 – P(K) = 1 – 0,89 = 0,11

 

E. Frekuensi Harapan

Frekuensi  harapan adalah banyaknya kejadian yang diharapkan dapat terjadi pada suatu percobaan.

Jika suatu percobaan dilakukan sebanyak n kali dan nilai kemungkinan terjadi kejadian K setiap percobaan adalah P(K), maka frekuensi harapan kejadian K adalah:

Contoh:

Sebuah dadu dilempar sebanyak 120 kali, maka frekuensi harapan munculnya mata dadu faktor dari 6 adalah...

Jawab:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ↔ n(S) = 6

K : Faktor dari 6 = {1, 2, 3, 6} ↔ n(A) = 4

n = Banyak lemparan = 120

Kaidah Pencacahan

 

Peluang : Kaidah Pencacahan

(Aturan Perkalian, Permutasi dan Kombinasi)

Dalam kehidupan sehari-hari terkadang kita menjumpai hal-hal yang di luar perkiraan kita. 

Dari gambar diatas, terdapat 1 kartu brigde atau kartu remi yang hendak dibuka, kita belum bisa mengetahui secara pasti kartu apa yang akan muncul, kita hanya bisa memperkirakannya. Mencari keumungkinan kartu yang muncul. 

Kita juga tidak bisa mengetahui secara pasti setiap kejadian akan terjadi atau tidak. Misalnya, kita tidak dapat mengetahui keadaan cuaca pada keesokan harinya. kita hanya bisa memperkirakan apakan esok akan hujan atau cerah.

Kemungkinan suatu kejadian seperti itu disebut PELUANG

A.     KAIDAH PENCACAHAN

Kaidah pencacahan diperlukan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan peluang. Kaidah pencacahan dibedakan menjadi dua yaitu aturan perkalian dan aturan pejumlahan.

1.      Aturan Perkalian dan Aturan Penjumlahan

Dari gambar 1 menunjukan perjalanan seseorang dari kota A ke kota C melalui kota B. Dari kota A ke kota B seseorang dapat memilih melalui jalan r, s atau t, sedangankan perjalanan dari kota B ke kota C seseorang dapat memilik melalui kota m atau n. Ada berapa cara agar orang tersebut dari kota A bisa sampai ke kota C melalui kota B?

 Banyaknya pilihan perjalanan dari kota A ke kota B dilanjutkan kota C dapat ditujukan dengan diagram dibawah ini

Dari gambar diatas terlihat rute perjalanan seseorang dari kota A ke kota C melalui kota B dapat dilakukan dengan 6 cara,yaitu {(r,m), (r,n), (s,m), (s,n), (t,m), (t,n)}

Dari permasalahan diatas, jika dari kota A menuju kota B ada 3 jalan/cara yang berbeda dan ada 2 cara yang dapat dipilih rute perjalana dari kota B menuju kota C, sehingga diperoleh (3 x 2 ) cara yang berbeda perjalana dari kota A menuju kota C melalui kota B. Kiadah ini disebut aturan perkalian.

Jika suatu kejadian terjadi dengan x cara yang berbeda serta ada peristiwa lain yang terjadi dengan y cara berbeda, maka kedua kejadian itu dapat terjadi dengan:

a.   (xy) cara berbeda (aturan perkalian)

b.   (m + n) cara berbeda (aturan penjumlahan)

Contoh :

a.      Untuk menentukan pengurus kelas, terdapat 3 siswa calon ketua kelas, 2 siswa calon sekretaris dan 4 siswa calon bendahara, dan tidak ada siswa yang dapat dicalonkan untuk dua posisi berbeda. Ada berapa cara untuk memilih susunan pengurus kelas yang terdiri dari satu orang ketua kelas, sekretaris dan bendahara yang bisa dibentuk?

 Jawab:

·           Untuk memilih ketua kelas ada 3 cara, karena ada 3 calon.

·           Untuk memilih sekretaris ada 2 cara, karena ada 2 calon.

·           Untuk memilih ketua kelas ada 4 cara, karena ada 4 calon.

·           Maka, hal ini menggunakan prinsip perkalian sehingga susunan pengurus kelas dapat dibentuk dengan (3 x 2 x 4) cara = 24 cara.

·           Sehingga ada 24 susunan pengurus kelas yang dapat dibentuk.

b.      Dari angka 0,1,2,3,4,5 akan disusun bilangan ratusan. Berapa banyak bilangan yang terbentuk dari angka tersebut jika tidak ada nagka yang berulang?

 Jawab :

 Ada 6 angka yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5 akan dibentuk angka ratusan tidak berulang.

Untuk mengisi posisi ratusan dapat dipilih dari 5 angka,  angka 0 (nol) tidak termasuk, karena ratusan tidak diawali dengan 0. Maka masukan 5 pada kotak ratusan.

 Untuk mengisi posisi puluhan dapat dipilih dari 5 angka, selain angka yang telah dimasukan pada kolom ratusan. Maka masukan 5 pada kotak ratusan.

 Untuk mengisi posisi satuan dapat dipilih dari 4 puluhan. Tentunya pilihan angka itu yang belum digunakan untukmengisi posisi ratusan dan puluhan karena tidak boleh ada angka yang berulang. Maka masukan 4 pada kotak satuan.

3.      Permutasi

Permutasi adalah susunan yang mungkin dari unsur-unsur berbeda dari objek-objek dengan memperhatikan urutannya. Dalam permutasi urutan menjadi hal yang penting, karena bedaurutan maka menjadi susunan yang berbeda.

Banyaknya permutasi dari n objek yang disusun r objek dapat dinotasikan menjadi nPr sehingga dirumuskan menjadi:

nPr = n  (n-1)  (n-2) (n-3) ...  (n-r+1) atau

a.      Permutasi dengan Beberapa Objek Sama

Dengan berapa cara kata SAS dapat disusun?

Susunan dari kata SAS adalah SAS, ASS, SSA, maka ada 3 cara.

Untuk permutasi dengan beberapa objek sama dapat dirumuskan menjadi

1)      Banyaknya permutasidari n objekdengan y objek sama ( y < n), sebagaiberikut :

nPy = n!/y!

2)      Banyaknya permutasi yang terdiri n objek yang dipilih dari n objek, dimana terdapat beberapa objek yang sama, seperti m1 objek sama, m2 objek yang sama, m3 objek yang sama, adalah

nPm1, m2, m3 = n!/m1! m2! m2!

Contoh :

Carilah berapa abanyak permutasi yang dapat dibentuk dari kata MATEMATIKA?

Jawab :

 

Dari 10 huruf kata MATEMATIKA, terdapat 2 huruf M, 3 huruf A, dan 2 huruf T, maka permutasi yang dapat dibentuk adalah

 

10P2, 3, 3 = 10!/2!3!2!= 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3!/2! 3! 2! = 151.200

 

b.     Permutasi Siklis

 

Permutasi siklis merupakan permutasi yang susun melingkar. Seperti  P, Q, R disusun melingkar pada gambar dibawah ini :

Jika dilihat urutan tersebut searah dengan jarus jam maka didapat susunan PQR, RPQ, QPR adalah sama.

 

Maka banyaknya permutasi siklis dari 3 objek adalah = 3!/3 = 3 x 2!/3 = 2! = 2

Dapat dilihat terdapat 2 susunan yang berbeda adalah PQR dan RPQ

 

Secara umum banyaknya susunan dari permutasi siklis adalah

Banyaknya permutasi siklis dari n objek = (n-1)!

 

Contoh :

 

Dalam rapat terdapat 6 orangyang duduk mengelilingi meja bundar. Dengan berpapa cara mereka dapat duduk melingkar dengan urutan yang berbeda?

 

Jawab :

 

Banyaknya susunan tempat duduk melingkar yang dapat dibentuk adalah

(n-1)! = (6-1)! = 5! = 120 cara.

 

Maka banyaknya cara dari ke-6 orang yang mengikuti rapat agar dapat duduk melingkar mengelilingi meja bunda dengan urutan yang berbeda ada 120 cara.

 

1.      Kombinasi

Kombinasi adalah susunan objek/unsur dari sekumpulan objek yang mungkin dari beberapa unsur yang tidak memperhatikan urutan atau urutan tidak berpengarung.

 

Dalam kombinasi urutan menjadi tidak penting atau tidak berpengaruh. Jadi, susunan RPQ, PRQ, QPR adalah susunan yang sama. Dalam kombinasi yang membedakan suatu susunan adalah perbedaan unsur-unsurnya (objek-objeknya).

Banyaknya r objek dan n objek dapat dinotasikan menjadi C atau  nCr dapat dirumuskan menjadi