Operasi Hitung Vektor di R3

 Contoh soal dan pembahasannya

1.         Suatu vektor di R³, titik pangkalnya terletak pada titik A (–2, 4, –6 ) dan titik ujungnya titik B ( 1, –3, –5 ). Tentukanlah:

a.       Komponen vektor

b.       Modulus vektor

c.        Vektor satuan

2.  

Setelah mempelajari contoh soal diatas, silahkan kerjakan Tugas Operasi Hitung Vektor di R3

VEKTOR di R3

  Silahkan simak kembali video pembeajaran berikut

Setelah menyimak video diatas, silahkan mengisi absensi pada Tugas Vektor di R3

VEKTOR di R2 ( Operasi Hitung Vektor )

 Silahkan simak kembali video pembeajaran berikut

setelah menyimak video diatas, silahkan kerjakan

Tugas 4.2

VEKTOR di R2

 BAB 4

VEKTOR

Silahkan simak video pembelajaran berikut 

Setelah menyimak video diatas, silahkan kerjakan

Tugas 4.1

LATIHAN SOAL PERTUMBUHAN, PELURUHAN, BUNGA DAN ANUITAS

SOAL:

1. Diketahui jumlah penduduk di India sebesar 1,156 juta jiwa dengan laju pertumbuhan penduduk sebesar 1,3%. Jika jumlah penduduk India tahun 2010 menyatakan suku pertama (n=1), dan suku kedua (n = 2) menyatakan jumlah penduduk tahun 2011, maka persamaan umum yang tepat untuk pertumbuhan penduduk india ini adalah …

Jawaban  b

2. Suatu bakteri setelah satu detik akan membelah diri menjadi 2. Jika pada saat permulaan ada 4 bakteri, maka akan terdapat 1.024 bakteri setelah … … …

     a.    24 detik

     b.    18 detik

     c.       12 detik

     d.      8 detik

     e.    6 detik

Pembahasan :

Diketahui :

Po = 4 bakteri

Pn = 1.024 bakteri

r = 2

T = 1 detik

ditanya : waktu pembelahan (t) ?

jawab : 

3. Harga suatu jenis mobil mengalami laju depresiasi (penyusutan nilai) sekitar 8% per tahun. Ayah Tomi membeli mobil saat ini seharga Rp 100.000.000,00. Maka harga mobil untuk jenis yang sama setelah 4 tahun kedepan adalah …

a.      Rp 40.960.000,00

b.      Rp 67.139.500,00

c.       Rp 71.639.300,00

d.      Rp 92.236.816,00

e.    Rp 136.048.896,00

Jawaban c

4. Berikut ini yang merupakan rumus untuk bunga majemuk dengan bunga dibayarkan per kuartal adalah …

5.  Andika meminjam uang sebesar Rp 2.000.000,00 dengan suku bunga tunggal 10 % pertahun. Maka total pinjaman yang harus dibayar Andika dalam waktu 3 tahun sebesar …

a.      Rp 2.400.000,00

b.      Rp 2.600.000,00

c.       Rp 2.750.000,00

d.      Rp 2.850.000,00

e.    Rp 3.000.000,00

Pembahasan:

Diketahui :

Pinjaman pokok (P) = Rp 2.000.000,00

Suku bunga tunggal (r) = 10% = 0,1

Jangka waktu pinjaman (t) = 3 tahun

Ditanya : 

berapa total pinjaman yang harus dibayar setelah 3 tahun?

Jawab :

Total pinjaman (TP) = P + Bunga

 TP = P + Prt

      = 2.000.000 + 2.000.000(0,1)(3)

      = 2.000.000 + 600.000

      = Rp 2.600.000,00

6.

a.       Rp 1.145.000,00

b.      Rp 1.220.000,00

c.       Rp 1.238.300,00

d.      Rp 1.276.700,00

e.    Rp 1.295.000,00

Jawaban d

7. Berdasarkan hasil sensus pada tahun2010, banyak penduduk di suatu kota 200.000 orang. Jika laju pertumbuhan penduduknya 10% pertahun, maka tentukan :

          a.  Banyak penduduk pada tahun 2015

          b.  Banyaknya penduduk pada tahun ke-n

             Pembahasan:

      Diketahui :

      P_o = 200.000

      r = 10% = 0,1

      Ditanya :

     a. P₅ … … ?

     b. P_n … … ?

8. Untuk menyembuhkan beberapa penyakit kanker, para dokter menggunakan iodium radioaktif I-131, yang memiliki waktu paruh 8 hari. Seorang pasien menerima pengobatan 32 mCi (millicurie adalah satuan untuk ukuran aktifitas radiasi). Tentukan :

a.      Berapa aktifitas radiasi setelah 64 hari?

Berapa lama waktu yang diperlukan sampai aktifitas radiasi tinggal 0,25 mCi?

9. Tentukan nilai investasi Rp 60.000.000,00 pada suku bunga 9% pertahun selama 8 bulan jika bunga dibayarkan tiap bulan?

10. Pinjaman sebesar Rp 100.000,00 akan dilunasi dengan 10 kali cicilan, jika besarnya suku bunga 2% per periode, tentukan besarnya anuitas A!

Diketahui :

P = Rp 100.000,00

b = 2% = 0,02

n = 10

ditanya : A?

Jik sudah selesai,

Silahkan isi Absensi 020920 

PERTUMBUHAN, PELURUHAN, BUNGA DAN ANUITAS 2

Lanjutan....

4.      Pertumbuhan

Pertumbuhan merupakan penerapan dari konsep barisan dan deret geometri naik.

Rumus pertumbuhan:

An = A ( 1 + r)n

An = nilai pada periode ke-n

A = nilai awal

r = prosentase pertumbuhan

n = periode pertumbuhan

Contoh:

Suatu kota memiliki jumlah penduduk pada tahun 2016 sejumlah 6 juta jiwa. Jika tingkat pertumbuhan penduduk kota tersebut 2% per tahun. Maka jumlah penduduk kota tersebut setelah 3 tahun adalah ...

Jawab:

A = 6 juta jiwa

r = 2%

n = 3

An       = 6.000.000 (1 + 0,02)3

            = 6.000.000(1,02)3

            = 6.000.000 (1,061208)

            = 6.367.248

5.      Peluruhan

Peluruhan merupakan penerapan dari konsep barisan dan deret geometri turun.

Rumus pertumbuhan :

An = A ( 1 - r)n

An = nilai pada periode ke-n

A = nilai awal

r = prosentase peluruhan

n = periode peluruhan

Contoh:

Ayah membeli mobil seharga Rp 100.000.000,- . Setiap tahun tingkat harga mengalami penurunan 5%. Jika ayah menjual mobilnya setelah 4 tahun. Maka berapa kisaran harga mobil ayah?

Jawab:

A = 100.000.000

r = 5%

n = 4 tahun

An = 100.000.000 ( 1 – 0,05)4

      = 100.000.000 ( 0,95)4

      = 100.000.000 (0,814506)

      = 81.450.600

6.      Anuitas 

Anuitas adalah sejumlah pembayaran pinjaman yang sama besarnya yang dibayarkan setiap jangka waktu tertentu, dan terdiri atas bagian bunga dan bagian angsuran.

Rumus Anuitas :

Anuitas = Angsuran + Bunga 

AN = An + Bn

Rumus Angsuran :

An = A1 (1+i)n-1

keterangan :

An = Angsuran ke-n

A1 = Angsuran ke -1

i    = Suku Bunga

Bn = Bunga ke-n

Contoh :

Suatu Pinjaman akan dilunasi dengan sistem anuitas bulanan. Jika besarnya anuitas Rp.400.000,00. Maka tentukanlah angsuran ke-5 jika bunga ke-5 adalah Rp.315.000,00!!!!

Jawab :

AN= 400.000

B5= 315.000

AN= An+Bn

400.000 = An + 315.000

          An= 400.000 - 315.000

               = 85.000

Nilai Anuitas

Untuk mencari nilai anuitas kita dapat menggunakan rumus berikut :

AN = M.i/1-(1+i)-n

Ket :

M = Modal

i   = Suku bunga

Dapat juga menggunakan daftar tabel anuitas

AN = M x daftar abuitas baris ke-n dan kolom i%

   

Ada pula rumus hubungan anuitas dengan angsuran pertama :

AN = A1 x (1+i)n

Keterangan :

AN = Anuitas

A1 = Angsuran Pertama

i     = Suku Bunga

n    = Jangka waktu

Contoh :

Nasa bersama suaminya berencana mengambil rimah di VILLA INDAH dengan harga Rp.250.000.000,00. Nasa hanya memiliki uang muka Rp.100.000.000,00. Sisanya akan di cicil dengan sistem anuitas tahunan selama 10 tahun dengan suku bunga 18%/tahun. Tentukan nilai anuitasnya !

Jawab :

M = 250.000.000 - 100.000.000 = 150.000.000

n   = 10 Tahun

i   = 18%/tahun = 0,18 / tahun

AN = M.i/ 1-(1+i)-n

AN = 150.000.000 x 0.18 / 1-(1+0,18)-10

AN = 27.000.000 / 1 - 1,18 -10

AN = 27.000.000/0,808935533

AN = 33.377.196,20

Sisa Pinjaman Anuitas

Ada 4 cara untuk menentukan sisa pinjaman anuitas :

Cara 1 :

Sm = B ke (m+1)/i

Keterangan :

Sm= Sisa bunga ke m

i    = Suku Bunga

Cara 2 :

Sm = M - ( A1 + A1 x daftar nilai akhir rente kolom i % baris (m-1))

Keterangan :

Sm =Sisa bunga ke m

M  = Modal

A1 = Angusuran pertama

Cara 3 :

Sm  = A1 x [ daftar nilai akhir rente kolom i % baris (n-1) - daftar nilai akhir renre kolom i% baris (m-1)]

Keterangan :

Sm = Sisa bunga ke m

A1  = Pertama

Cara 4 :

Sm = A x [ daftar nilai tunai rente kolom i% baris (n-m)]

Keterangan :

Sm = Sisa bunga ke

AN    = Anuitas

kita ambil contoh dari salah satu cara saja. Yaitu cara pertama :

Pinjaman sebesar Rp.10.000.000,00 dengan anuitas Rp 510.192,59, akan di lunasi dengan sistem anuitas bulanan dengan suku bunga 3%/bulan selama 2,5 tahun. Tentukan Besarnya sisa pinjaman ke 10 bulan !!

Jawab :

B1 = M x i

      = 10.000.000 x 0,03

      = 300.000

A1 = AN-B1

      = 510.192,59 - 300.000

      = 210.192,59

A11 = A1 ( 1+i)11-1

        = 210.192,59 ( 1+0,03)10

        = 210.192,59  x 1,343916379

        = 282.481,26

B11 = AN - A11

       = 510.192,59 - 282.481,26

       = 227.711,33

S10 = B11/i

       = 227.711,33/0,03

       = 7.590.377,67

PERTUMBUHAN, PELURUHAN, BUNGA DAN ANUITAS 1

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

1.      Bunga

Bunga merupakan uang tambahan yang dibayarkan/diterima selain Modal/Pinjamam pokok setelah jangka waktu tertentu.

Jika sejumlah uang Mo dibungakan dengan b% dalam jangka tertentu maka :

B = Mn – Mo

B = b% . Mo

Keterangan :

b    = bunga (%)

B    = bunga (Rp)

Mo = Modal (Rp)

Mn = Uang akhir (Rp)

Contoh :

Maira meminjam uang ke bank sebesar Rp. 20.000.000 untuk keperluan renovasi rumah. Bank tersebut memberikan syarat bunga 5% setahun, maka uang yang harus dikembalikan Maira adalah ...

Jawab :

Mo = 20.000.000

b = 5%

maka B = 5% x 20.000.000 = 1.000.000

jadi uang yang harus dikembalikan adalah 20.000.000 + 1.000.000 = Rp. 21.000.000,-

2.      Bunga Tunggal

Bunga tunggal adalah bunga yang diterima setiap akhir periode dengan besar yang konstan/tetap.

Jika seseorang memiliki modal M dan dibungakan dengan b% selama w tahun, maka :

B = b x M x w

dan modal akhir didapatkan :

Mt = M + B

      = M + b M w

Mt  = M(1 + bw)

Contoh:

Roni menyimpan uangnya dalam bank sebesar Rp. 1.000.000,- bank tersebut memberikan suku bunga tunggal 4% per tahun. Setelah 6 bulan maka berapakah uang Roni?

Jawab:

M = 1.000.000

b = 4% per tahun

w = 6 bulan = 0,5 tahun

B = b x M x w

   = 4% x 1000.000 x 0,5

   = 20.000

Maka tabungan setelah 6 bulan adalah 1.000.000 + 20.000 = Rp. 1.020.000,-

3.      Bunga Majemuk

Pada bunga tunggal, modal akan selalu tetap/konstan sehingga bunga juga akan tetap pada setiap periodenya. Namun, beda dengan bunga majemuk. Pada bunga majemuk, bunga pada periode pertama akan diakumulasi dengan Modal dan hasilnya dijadikan Modal pada periode berikutnya.

Periode I

B1 = b x M

M1 =  M + B1

     = M + b M

     = M (1 + b)

Periode II

B2  = b x M1

M2 = M1 + B2

       = M1 + b.M1

       = M1. (1 + b)

       = M(1 + b).(1 + b)

       = M.(1 + b)2

Periode ke-n

Mn = M (1 + b)n

n = periode(jangka waktu)

Contoh:

Modal sebesar Rp 10.000.000,- dibungakan selama 3,5 tahun dengan bunga majemuk 6% per semester. Maka nilai akhir dari modal tersebut adalah...

M = 10.000.000

W = 3,5 tahun à 7 semester ( n = 7)

b = 6% pert semester ( 1 periode = 1 semester/6 bulan)

Mn = M ( 1 + b)7

       = 10.000.000 ( 1 + 0,06)7

       = 10.000.000 ( 1,06)7

       = 15.036.300

Tugas 3.1 TUGAS