Pengertian dan Jenis-jenis Transformasi Geometri

“Kamu nih ya, bukannya belajar malah nonton Transformer”

“Eh iya, Ma. Bentar lagi habis kok filmnya”

“Besok ulangan matematika kan? Hayo kemarin mama lihat kamu masih bingung menyelesaikan soal transformasi geometri kan?”

“Transformer dan transformasi geometri kan ada persamaannya Ma”

“Apa persamaannya coba?”

Mahardikas, ada yang bisa jawab nggak tuh apakah ada persamaan transformasi geometri dengan Transformer?

 

Emang beneran masih bingung, Mahardikas? Tenang….biar nggak bingung baca terus artikel ini sampai habis ya.

Begini, Transformer itu film yang menceritakan perubahan kendaraan (mobil atau tank) menjadi sebuah robot yang memiliki senjata untuk mengalahkan musuh. Kalau kendaraan menjadi robot artinya melakukan perubahan apa?

Yap, tepat sekali. Perubahan bentuk. Jadi, fokusnya Transformer ialah kemampuan melakukan perubahan bentuk dari kendaraan menjadi robot.

Tuh kan bener berubah bentuk dari mobil jadi robot. (sumber: giphy.com)

Sekarang, transformasi geometri ya Mahardikas. Perubahan apa yang terjadi dalam transformasi geometri?

Transformasi geometri merupakan perubahan posisi (perpindahan) dari suatu posisi awal (x , y) ke posisi lain (x’ , y’)

Nah, sudah tahu kan pengertian dari transformasi geometri itu apa? Ada perbedaan dengan Transformer lho. Sekarang, lanjut simak yuk tentang jenis-jenis transformasi geometri.

Jenis-jenis Transformasi: 

 

1.      Translasi (Pergeseran)

Bermain perosotan tetap harus hati-hati. (sumber: giphy.com)

Translasi merupakan jenis transformasi yang memindahkan suatu titik sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak. Artinya, translasi itu hanya perpindahan titik ya Mahardikas. Kalau kamu perhatikan baik-baik, di perosotan itu hanya mengubah titik awal (puncak perosotan), menuju titik akhir (ujung perosotan).

2.      Refleksi (Pencerminan)

Refleksi dalam transformasi geometri ini dapat dikatakan pencerminan. Refleksi ini memindahkan semua titik dengan menggunakan sifat pencerminan pada cermin datar.

Coba lihat garis dan titik-titik merah pada gambar di atas. Garis dan titik-titik merah tersebut berpindah namun seperti halnya dihadapkan pada cermin datar. 

Rumus Refleksi

 

3.      Rotasi

Pernah ke pasar malam nggak? Bukan pergi ke pasar pada malam hari lho ya. Maksudnya pasar malam itu, pasar yang ada di malam hari tapi lokasinya di sekitar pemukiman rumah warga, misalnya di lapangan gitu. Kalau pernah, coba perhatikan salah saatu permainan yang ada di pasar malam deh. Seperti ini.

Bianglala tersebut merupakan contoh rotasi dalam transformasi geometri lho. Rotasi dalam hal ini dapat dipahami sebagai memindahkan suatu titik ke titik yang lain. Prinsipnya, yakni memutar terhadap sudut dan titik pusat tertentu yang memiliki jarak sama dengan setiap titik yang diputar. Perlu diingat ya bahwa rotasi itu tidak mengubah ukuran.

Rumus rotasi:

4.      Dilatasi

Perhatikan gambar dibawah ini 

Coba kalian perhatikan bedanya ukuran asli dengan ukuran mainan tersebut? Kira-kira berapa kali lipat ya besarnya?

 

Nah itulah yang dinamakan dilatasi dalam transformasi geometri. Dilatasi dapat dipahami sebagai bentuk pembesaran atau pengecilan dari titik-titik yang membentuk sebuah bangun.

Rumus Dilatasi

Kedudukan Garis Terhadap Bidang

 Garis Terletak pada Bidang

Sebuah garis dikatakan terletak pada bidang, jika garis dan bidang itu sekurang - kurangnya memiliki dua titik persekutuan.

 

Garis Sejajar Bidang

Sebuah garis dikatakan sejajar bidang, jika garis dan bidang itu tidak memiliki satupun titik persekutuan.

 

Garis Memotong atau Menembus Bidang

Sebuah garis dikatakan memotong atau menembus bidang, jika garis tersebut dan bidang hanya memiliki sebuah titik persekutuan. Titik persekutuan ini dinamakan titik potong atau titik tembus..
Sebagai contoh, perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini : 

·           Rusuk - rusuk kubus yang terletak pada bidang α adalah rusuk - rusuk EF, EH, FG, dan GH

·           Rusuk - rusuk kubus yang sejajar dengan bidang α adalah rusuk - rusuk AB, AD, BC, dan CD

·           Rusuk - rusuk kubus yang memotong atau menembus bidang α adalah rusuk - rusuk AE, BF, CG, dan DH

 

Dalil - Dalil Garis Sejajar Bidang 

·           Jika garis g sejajar dengan garis h dan garis h terletak pada bidang α, maka garis g sejajar dengan bidang α

·           Jika bidang α melalui garis g dan garis g sejajar terhadap bidang β, maka garis potong antara bidang α dengan bidang β akan sejajar terhadap garis g

·           Jika garis g sejajar dengan garis h dan garis h sejajar terhadap bidang α, maka garis g sejajar terhadap bidang α

·           Jika bidang α dan bidang β berpotongan dan masing - masing sejajar terhadap garis g maka garis potong antara bidang α dan bidang &beta akan sejajar dengan garis g.

Titik Tembus Garis dan Bidang yang Berpotongan 

Buat bidang β melalui garis g

Tentukan garis potong abtara bidang α dan β, yaitu garis (α, β)

Titik potong gartis g dengan garis (α, β) adalah titik tembusnya adalah titik T

Kedudukan Bidang Terhadap Bidang Lain

·           Dua bidang Berimpit

Bidang α dan β dikatakan berimpit, jika setiap titik yang terletak pada bidang &alpha juga terletakpada bidang β 

·           Dua Bidang Sejajar

Bidang α dan β dikatakan sejajar, jika kedua bidang itu tidak memiliki satupun titik persekutuan..

·           Dua Bidang Berpotongan

Bidang α dan β dikatakan berpotongan, jika kedua bidang itu tepat memiliki tepat sebuah garis persekutuan..

Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang Dalam Ruang

 

Titik

Sebuah hanya dapat ditentukan oleh letaknya, tetapi tidak memiliki ukuran (besaran) sehingga dapat dikatakan titik tidak berdimensi. Sebuah titik dilukiskan dengan tanda noktah dan diberi huruf kapital..

 

Garis

Garis hanya mempunyai ukuran panjang tetapi tidak mempunyai ukuran lebar. Garis merupakan himpunan titik - titik yang hanya memiliki ukuran panjang, sehingga dikatakan garis berdimensi satu.. 

 

Bidang

Bidang merupakan himpunan titik - titik yang memiliki ukuran panjang dan luas, sehingga dapat dikatakan bidang berdimensi dua..

 

Aksioma Garis dan Bidang

Aksioma/postulat adalah pernyataan yang diandaikan benar dalam sebuah sistem dan kebenaran itu diterima tanpa pembuktian..

 

Melalui sebuah titik sebarang yang tidak berimpit hanya dapat dibuat sebuah garis lurus

Jika sebuah garis dan sebuah bidang memiliki dua titik persekutuan, maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang.

 

Melalui tiga buah titik sebarang tidak segaris hanya dapat dibuat sebuah bidang

Berdasarkan aksioma - aksioma ini dapat diturunkan dalil - dalil untuk menentukan sebuah bidang : 

·         Sebuah bidang ditentukan oleh tiga titik sebarang yang tidak segaris

·         Sebuah bidang ditentukan oleh sebuah garis dan sebuah titik (titik terletak di luar garis)

·         Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis berpotongan

·         Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis sejajar

Kedudukan Titik Terhadap Garis dan Titik Terhadap Bidang

·      Titik Terletak pada Garis

Sebuah titik dikatakan terletak pada garis, jika titik tersebut dapat dilalui oleh garis 

 

·      Titik di Luar Garis

Sebuah titik dikatakan berada di luar garis, jika titik tersebut tidak dapat dilalui oleh garis 

·      Titik Terletak pada Bidang

Sebuah titik dikatakan terletak pada bidang α, jika titik tersebut dapat dilalui oleh bidang α

·      Titik di Luar Bidang

Sebuah titik dikatakan berada di luar bidang α, jika titik tersebut tidak dapat dilalui oleh bidang α 

Kedudukan Garis Terhadap Garis Lain

Dua Garis Berpotongan

Dua buah garis dikatakan berpotongan, jika kedua garis itu terletak pada sebuah bidang dan memiliki sebuah titik persekutuan. Titik persekutuan ini disebut titik potong. Jika dua buah garis berpotongan pada lebih dari satu titik potong, maka kedua garis ini dikatakan berimpit

 

Dua Garis Sejajar

Dua buah garis dikatakan sejajar, jika kedua garis itu terletak pada sebuah bidang dan tidak memiliki satupun titik persekutuan 

 

Dua garis bersilangan

Dua buah garis dikatakan bersilangan (tidak berpotongan dan tidak sejajar) jika kedua garis itu tidak terletak pada sebuah bidang.

Aksioma Dua Garis Sejajar

Melalui sebuah titik yang berada di luar sebuah garis tertentu hanya dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis tertentu.

Dalil tentang dua garis sejajar : 

·           Jika garis a sejajar dengan garis b dan garis b sejajar dengan garis c, maka garis a sejajar dengan garis c..

·           Jika garis a sejajar garis b dan memotong garis c, garis b sejajar garis a dan juga memotong garis c, maka garis - garis a,b, dan c terletak pada sebuah bidang.

·           Jika garis a sejajar dengan garis b dan garis b menembus bidang, maka garis a juga menembus bidang.

Latihan Soal Persamaan Lingkaran

Persamaan Lingkaran

 

Persamaan Lingkaran

 

Lingkaran atau bisa disebut sebagai segi-tak hingga dalam bidang geometri. Dalam bidang kartesius, lingkaran adalah titik-titik yang berjumlah tak hingga yang memiliki jarak yang sama dengan pusat lingkaran. Jarak dari setiap titik ke titik pusat biasa disebut sebagai jari-jari r.

 

Persamaan Lingkaran

Terdapat beberapa macam persamaan lingkaran, yaitu persamaan yang dibentuk dari titik pusat dan jari-jari serta suatu persamaan yang bisa dicari titik pusat dan jari-jarinya.

 

Persamaan umum lingkaran

Dalam lingkaran, terdapat persamaan umum, yaitu:

adalah bentuk umum persamaannya.

 

Dari persamaan diatas, dapat ditentukan titik pusat serta jari-jari lingkarannya, yaitu:

 

Titik pusat lingkaran

Dan untuk jari-jari lingkaran adalah

Persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b) dan jari-jari r

Dari suatu lingkaran jika diketahui titik pusat dan jari-jarinya, dapat diperoleh persamaan lingkarannya, yaitu dengan rumus:

jika diketahui titik pusat dan jari-jari lingkaran dimana (a,b) adalah titik pusat dan r adalah jari-jari dari lingkaran tersebut.

 

Dari persamaan yang diperoleh, kita dapat menentukan apakah suatu titik terletak pada lingkaran, di dalam lingkaran atau diluar lingkaran. Untuk menentukan letak titik tersebut, yaitu dengan subtitusi titik pada variabel x dan y kemudian dibandingkan hasilnya dengan kuadrat dari jari-jari.

Suatu titik M (x₁, y₁) terletak:

 

Pada lingkaran: \rightarrow (x₁-a)² + (y₂-b)² = r²

Di dalam lingkaran: \rightarrow (x₁-a)² + (y₂-b)² < r²

Di luar lingkaran: \rightarrow (x₁-a)² + (y₂-b)² > r²

 

Persamaan lingkaran dengan dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r

Persamaan lingkaran jika titik pusat di O(0,0), maka subtitusi pada bagian sebelumnya, yaitu:

Dari persamaan diatas, juga dapat ditentukan letak suatu titik terhadap lingkaran tersebut.

 

gambar persamaan lingkaran

Dari persamaan kuadrat diatas, dengan membandingkan nilai diskriminannya, dapat dilihat apakah garis tidak menyinggung/memotong, menyinggung atau memotong lingkaran.

 

Garis h tidak memotong/menyinggung lingkaran, maka  D<0

 

Garis h menyinggung lingkaran, maka D=0

 

Garis h memotong lingkaran, maka D>0