PERTUMBUHAN, PELURUHAN, BUNGA DAN ANUITAS 2

Lanjutan....

4.      Pertumbuhan

Pertumbuhan merupakan penerapan dari konsep barisan dan deret geometri naik.

Rumus pertumbuhan:

An = A ( 1 + r)n

An = nilai pada periode ke-n

A = nilai awal

r = prosentase pertumbuhan

n = periode pertumbuhan

Contoh:

Suatu kota memiliki jumlah penduduk pada tahun 2016 sejumlah 6 juta jiwa. Jika tingkat pertumbuhan penduduk kota tersebut 2% per tahun. Maka jumlah penduduk kota tersebut setelah 3 tahun adalah ...

Jawab:

A = 6 juta jiwa

r = 2%

n = 3

An       = 6.000.000 (1 + 0,02)3

            = 6.000.000(1,02)3

            = 6.000.000 (1,061208)

            = 6.367.248

5.      Peluruhan

Peluruhan merupakan penerapan dari konsep barisan dan deret geometri turun.

Rumus pertumbuhan :

An = A ( 1 - r)n

An = nilai pada periode ke-n

A = nilai awal

r = prosentase peluruhan

n = periode peluruhan

Contoh:

Ayah membeli mobil seharga Rp 100.000.000,- . Setiap tahun tingkat harga mengalami penurunan 5%. Jika ayah menjual mobilnya setelah 4 tahun. Maka berapa kisaran harga mobil ayah?

Jawab:

A = 100.000.000

r = 5%

n = 4 tahun

An = 100.000.000 ( 1 – 0,05)4

      = 100.000.000 ( 0,95)4

      = 100.000.000 (0,814506)

      = 81.450.600

6.      Anuitas 

Anuitas adalah sejumlah pembayaran pinjaman yang sama besarnya yang dibayarkan setiap jangka waktu tertentu, dan terdiri atas bagian bunga dan bagian angsuran.

Rumus Anuitas :

Anuitas = Angsuran + Bunga 

AN = An + Bn

Rumus Angsuran :

An = A1 (1+i)n-1

keterangan :

An = Angsuran ke-n

A1 = Angsuran ke -1

i    = Suku Bunga

Bn = Bunga ke-n

Contoh :

Suatu Pinjaman akan dilunasi dengan sistem anuitas bulanan. Jika besarnya anuitas Rp.400.000,00. Maka tentukanlah angsuran ke-5 jika bunga ke-5 adalah Rp.315.000,00!!!!

Jawab :

AN= 400.000

B5= 315.000

AN= An+Bn

400.000 = An + 315.000

          An= 400.000 - 315.000

               = 85.000

Nilai Anuitas

Untuk mencari nilai anuitas kita dapat menggunakan rumus berikut :

AN = M.i/1-(1+i)-n

Ket :

M = Modal

i   = Suku bunga

Dapat juga menggunakan daftar tabel anuitas

AN = M x daftar abuitas baris ke-n dan kolom i%

   

Ada pula rumus hubungan anuitas dengan angsuran pertama :

AN = A1 x (1+i)n

Keterangan :

AN = Anuitas

A1 = Angsuran Pertama

i     = Suku Bunga

n    = Jangka waktu

Contoh :

Nasa bersama suaminya berencana mengambil rimah di VILLA INDAH dengan harga Rp.250.000.000,00. Nasa hanya memiliki uang muka Rp.100.000.000,00. Sisanya akan di cicil dengan sistem anuitas tahunan selama 10 tahun dengan suku bunga 18%/tahun. Tentukan nilai anuitasnya !

Jawab :

M = 250.000.000 - 100.000.000 = 150.000.000

n   = 10 Tahun

i   = 18%/tahun = 0,18 / tahun

AN = M.i/ 1-(1+i)-n

AN = 150.000.000 x 0.18 / 1-(1+0,18)-10

AN = 27.000.000 / 1 - 1,18 -10

AN = 27.000.000/0,808935533

AN = 33.377.196,20

Sisa Pinjaman Anuitas

Ada 4 cara untuk menentukan sisa pinjaman anuitas :

Cara 1 :

Sm = B ke (m+1)/i

Keterangan :

Sm= Sisa bunga ke m

i    = Suku Bunga

Cara 2 :

Sm = M - ( A1 + A1 x daftar nilai akhir rente kolom i % baris (m-1))

Keterangan :

Sm =Sisa bunga ke m

M  = Modal

A1 = Angusuran pertama

Cara 3 :

Sm  = A1 x [ daftar nilai akhir rente kolom i % baris (n-1) - daftar nilai akhir renre kolom i% baris (m-1)]

Keterangan :

Sm = Sisa bunga ke m

A1  = Pertama

Cara 4 :

Sm = A x [ daftar nilai tunai rente kolom i% baris (n-m)]

Keterangan :

Sm = Sisa bunga ke

AN    = Anuitas

kita ambil contoh dari salah satu cara saja. Yaitu cara pertama :

Pinjaman sebesar Rp.10.000.000,00 dengan anuitas Rp 510.192,59, akan di lunasi dengan sistem anuitas bulanan dengan suku bunga 3%/bulan selama 2,5 tahun. Tentukan Besarnya sisa pinjaman ke 10 bulan !!

Jawab :

B1 = M x i

      = 10.000.000 x 0,03

      = 300.000

A1 = AN-B1

      = 510.192,59 - 300.000

      = 210.192,59

A11 = A1 ( 1+i)11-1

        = 210.192,59 ( 1+0,03)10

        = 210.192,59  x 1,343916379

        = 282.481,26

B11 = AN - A11

       = 510.192,59 - 282.481,26

       = 227.711,33

S10 = B11/i

       = 227.711,33/0,03

       = 7.590.377,67

PERTUMBUHAN, PELURUHAN, BUNGA DAN ANUITAS 1

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

1.      Bunga

Bunga merupakan uang tambahan yang dibayarkan/diterima selain Modal/Pinjamam pokok setelah jangka waktu tertentu.

Jika sejumlah uang Mo dibungakan dengan b% dalam jangka tertentu maka :

B = Mn – Mo

B = b% . Mo

Keterangan :

b    = bunga (%)

B    = bunga (Rp)

Mo = Modal (Rp)

Mn = Uang akhir (Rp)

Contoh :

Maira meminjam uang ke bank sebesar Rp. 20.000.000 untuk keperluan renovasi rumah. Bank tersebut memberikan syarat bunga 5% setahun, maka uang yang harus dikembalikan Maira adalah ...

Jawab :

Mo = 20.000.000

b = 5%

maka B = 5% x 20.000.000 = 1.000.000

jadi uang yang harus dikembalikan adalah 20.000.000 + 1.000.000 = Rp. 21.000.000,-

2.      Bunga Tunggal

Bunga tunggal adalah bunga yang diterima setiap akhir periode dengan besar yang konstan/tetap.

Jika seseorang memiliki modal M dan dibungakan dengan b% selama w tahun, maka :

B = b x M x w

dan modal akhir didapatkan :

Mt = M + B

      = M + b M w

Mt  = M(1 + bw)

Contoh:

Roni menyimpan uangnya dalam bank sebesar Rp. 1.000.000,- bank tersebut memberikan suku bunga tunggal 4% per tahun. Setelah 6 bulan maka berapakah uang Roni?

Jawab:

M = 1.000.000

b = 4% per tahun

w = 6 bulan = 0,5 tahun

B = b x M x w

   = 4% x 1000.000 x 0,5

   = 20.000

Maka tabungan setelah 6 bulan adalah 1.000.000 + 20.000 = Rp. 1.020.000,-

3.      Bunga Majemuk

Pada bunga tunggal, modal akan selalu tetap/konstan sehingga bunga juga akan tetap pada setiap periodenya. Namun, beda dengan bunga majemuk. Pada bunga majemuk, bunga pada periode pertama akan diakumulasi dengan Modal dan hasilnya dijadikan Modal pada periode berikutnya.

Periode I

B1 = b x M

M1 =  M + B1

     = M + b M

     = M (1 + b)

Periode II

B2  = b x M1

M2 = M1 + B2

       = M1 + b.M1

       = M1. (1 + b)

       = M(1 + b).(1 + b)

       = M.(1 + b)2

Periode ke-n

Mn = M (1 + b)n

n = periode(jangka waktu)

Contoh:

Modal sebesar Rp 10.000.000,- dibungakan selama 3,5 tahun dengan bunga majemuk 6% per semester. Maka nilai akhir dari modal tersebut adalah...

M = 10.000.000

W = 3,5 tahun à 7 semester ( n = 7)

b = 6% pert semester ( 1 periode = 1 semester/6 bulan)

Mn = M ( 1 + b)7

       = 10.000.000 ( 1 + 0,06)7

       = 10.000.000 ( 1,06)7

       = 15.036.300

Tugas 3.1 TUGAS

DERET GEOMETRI

Deret Geometri 

Rumus Mencari Sn

 Sn adalah jumlah suku ke n pada barisan dan deret. Nah bagaimana cara kita mencari tau Sn   pada barisan dan deret geometri? Di bawah ini adalah rumusnya. Misalnya kita punya barisan dan deret

Oke, itu dia rumus Sn   dalam barisan dan deret geometri. Nah selain mencari Un  dan Sn  , kita akan bahas tentang barisan dan deret tak hingga.

Barisan dan deret tak hingga itu terbagi menjadi 2 jenis, ada tak hingga divergen dan tak hingga konvergen. Nah keduanya memiliki perbedaan yang cukup penting. Yuk kita lihat pengertian dari ke dua jenis barisan tak hingga tersebut beserta perbedaannya.

Deret Geometri Tak Hingga Divergen

Deret geometri tak hingga divergen adalah suatu deret yang nilai bilangannya semakin membesar dan tidak bisa dihitung jumlahnya. Bisa kita lihat seperti di bawah ini,

1, 3, 9, 27, 81, …………… Kalau ditanya berapa sih jumlah seluruhnya? Jumlah seluruhnya tidak bisa dihitung karena nilainya semakin besar.

Deret Geometri Tak Hingga Konvergen

Berbeda dengan divergen, derek geometri tak hingga konvergen merupakan suatu deret di mana nilai bilangannya semakin mengecil dan dapat dihitung jumlahnya. Seperti di bawah ini,  

Semakin lama nilainya semakin mengecil dan ujungnya akan mendekati angka 0. Hal ini membuat deret geometri tak hingga konvergen dapat dihitung jika ditanyakan jumlah seluruhnya.

Lalu bagaimana untuk menghitung jumlah seluruh dari tak hingga konvergen?

Sebelum masuk ke rumus, ada syarat terlebih dahulu jika kamu bertemu dengan deret geometri tak hingga konvergen, yaitu rasionya atau pengalinya harus antara -1 sampai 1 (-1 > r > 1) dan ini berlaku untuk negatif dan positif.

Nah itu dia, jadi hasil jumlah S tak hingga nya adalah 8. Ingat ya, pada deret geometri tak hingga, kita dapat mencari jumlah dari keseluruhannya. Hal ini dikarenakan nilainya yang semakin mengecil, mendekati 0. Seperti ini ya,

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Barisan geometri merupakan barisan yang memenuhi sifat hasil bagi sebuah suku dengan suku sebelumnya yang berurutan. hal tersebut bernilai konstan. Selain itu, barisan geometri juga sering diistilahkan sebagai “barisan ukur”. Oh iya, barisan deret geometri ini masih berhubungan dengan barisan dan deret aritmatika juga .

Misalnya barisan geometri tersebut  adalah a,b, dan c, maka c/b = b/a = konstan. Kemudian dari situ kita akan mendapatkan hasil bagi suku yang berdekatan dan itu disebut rasio barisan geometri, bisa dilambangkan dengan “r”.

Contoh lebih mudahnya begini, misal kamu punya barisan dan deret seperti ini, 1, 3, 9, 27, …….dst

Dari barisan dan deret tersebut, kita bisa lihat antara suku pertama dengan suku kedua, antara suku kedua dan suku ketiga dan seterusnya selalu punya pengali yang sama. Nah, supaya lebih mudah, harus mengetahui terlebih dahulu ( ) nya atau suku pertama. Selain suku pertama, kamu juga harus tahu rasionya ( ).

Rumus Mencari Un

Untuk mencari suku ke n pada barisan dan deret geometri, bisa menggunakan rumus berikut ini

Misalnya barisan dan deret

Rumus Mencari Sn

 Sn adalah jumlah suku ke n pada barisan dan deret. Nah bagaimana cara kita mencari tau Sn pada barisan dan deret geometri? Di bawah ini adalah rumusnya. Misalnya kita punya barisan dan deret

Selanjutnya di bawah ini adalah rumus mencari Sn

Barisan dan deret tak hingga itu terbagi menjadi 2 jenis nih Squad, ada tak hingga divergen dan tak hingga konvergen. Nah keduanya memiliki perbedaan yang cukup penting. Yuk kita lihat pengertian dari ke dua jenis barisan tak hingga tersebut beserta perbedaannya.

Deret Geometri Tak Hingga Divergen

Deret geometri tak hingga divergen adalah suatu deret yang nilai bilangannya semakin membesar dan tidak bisa dihitung jumlahnya. Bisa kita lihat seperti di bawah ini,

1, 3, 9, 27, 81, …………… Kalau ditanya berapa sih jumlah seluruhnya? Jumlah seluruhnya tidak bisa dihitung karena nilainya semakin besar.

Deret Geometri Tak Hingga Konvergen

Berbeda dengan divergen, derek geometri tak hingga konvergen merupakan suatu deret di mana nilai bilangannya semakin mengecil dan dapat dihitung jumlahnya. Seperti di bawah ini,

Semakin lama nilainya semakin mengecil dan ujungnya akan mendekati angka 0. Hal ini membuat deret geometri tak hingga konvergen dapat dihitung jika ditanyakan jumlah seluruhnya.

Lalu bagaimana untuk menghitung jumlah seluruh dari tak hingga konvergen?

Sebelum masuk ke rumus, ada syarat terlebih dahulu jika kamu bertemu dengan deret geometri tak hingga konvergen, yaitu rasionya atau pengalinya harus antara -1 sampai 1 (-1 > r > 1) dan ini berlaku untuk negatif dan positif.

Rumus deret geomerti tak hingga konvergen

Contoh:

1.     Diketahui barisan geometri dengan suku pertama adalah 24 dan suku ke-3 adalah 

   Suku ke-5 barisan tersebut adalah ....
       Pembahasan:

1.      Rumus suku ke-n dari barisan aritmetika: −18,−15,−12,−9, … adalah….

Pembahasan:

Barisan itu adalah barisan aritmetika karena memiliki selisih suku yang  berdekatan tetap. Diketahui a=−1 dan b=3, sehingga

Un=a+(n−1)b

     =−18+(n–1)×3

     =−18+3n–3=3n–21
Jadi, rumus umum suku ke-nn adalah Un=3n−21

2.      Diketahui suku ke-3 dan suku ke-5 dari barisan aritmetika secara berturut - turut adalah  −5  dan −9. Suku ke-10 dari barisan tersebut adalah ….

Pembahasan:

Diketahui rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah 

 Un=a+(n−1))b. 

Akan dicari nilai dari b (beda) sebagai berikut : 

Selanjutnya, akan dicari nilai a (suku pertama) dengan menggunakan persamaan             U3=−5             sebagai berikut.

       U3=a+2b=−5

a+2b=−5

a–4=−5

a=−1
      

Suku ke-10 barisan tersebut adalah U10=a+9b=−1+9(−2)=−19

4.      Diketahui deret 

 Jumlah suku takterhingganya adalah ….

Pembahasan :

Tugas 2. 1 
Silahkan Catat semua materi kemudian diupload ke Tugas 2.1