Kaidah Pencacahan

 

Peluang : Kaidah Pencacahan

(Aturan Perkalian, Permutasi dan Kombinasi)

Dalam kehidupan sehari-hari terkadang kita menjumpai hal-hal yang di luar perkiraan kita. 

Dari gambar diatas, terdapat 1 kartu brigde atau kartu remi yang hendak dibuka, kita belum bisa mengetahui secara pasti kartu apa yang akan muncul, kita hanya bisa memperkirakannya. Mencari keumungkinan kartu yang muncul. 

Kita juga tidak bisa mengetahui secara pasti setiap kejadian akan terjadi atau tidak. Misalnya, kita tidak dapat mengetahui keadaan cuaca pada keesokan harinya. kita hanya bisa memperkirakan apakan esok akan hujan atau cerah.

Kemungkinan suatu kejadian seperti itu disebut PELUANG

A.     KAIDAH PENCACAHAN

Kaidah pencacahan diperlukan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan peluang. Kaidah pencacahan dibedakan menjadi dua yaitu aturan perkalian dan aturan pejumlahan.

1.      Aturan Perkalian dan Aturan Penjumlahan

Dari gambar 1 menunjukan perjalanan seseorang dari kota A ke kota C melalui kota B. Dari kota A ke kota B seseorang dapat memilih melalui jalan r, s atau t, sedangankan perjalanan dari kota B ke kota C seseorang dapat memilik melalui kota m atau n. Ada berapa cara agar orang tersebut dari kota A bisa sampai ke kota C melalui kota B?

 Banyaknya pilihan perjalanan dari kota A ke kota B dilanjutkan kota C dapat ditujukan dengan diagram dibawah ini

Dari gambar diatas terlihat rute perjalanan seseorang dari kota A ke kota C melalui kota B dapat dilakukan dengan 6 cara,yaitu {(r,m), (r,n), (s,m), (s,n), (t,m), (t,n)}

Dari permasalahan diatas, jika dari kota A menuju kota B ada 3 jalan/cara yang berbeda dan ada 2 cara yang dapat dipilih rute perjalana dari kota B menuju kota C, sehingga diperoleh (3 x 2 ) cara yang berbeda perjalana dari kota A menuju kota C melalui kota B. Kiadah ini disebut aturan perkalian.

Jika suatu kejadian terjadi dengan x cara yang berbeda serta ada peristiwa lain yang terjadi dengan y cara berbeda, maka kedua kejadian itu dapat terjadi dengan:

a.   (xy) cara berbeda (aturan perkalian)

b.   (m + n) cara berbeda (aturan penjumlahan)

Contoh :

a.      Untuk menentukan pengurus kelas, terdapat 3 siswa calon ketua kelas, 2 siswa calon sekretaris dan 4 siswa calon bendahara, dan tidak ada siswa yang dapat dicalonkan untuk dua posisi berbeda. Ada berapa cara untuk memilih susunan pengurus kelas yang terdiri dari satu orang ketua kelas, sekretaris dan bendahara yang bisa dibentuk?

 Jawab:

·           Untuk memilih ketua kelas ada 3 cara, karena ada 3 calon.

·           Untuk memilih sekretaris ada 2 cara, karena ada 2 calon.

·           Untuk memilih ketua kelas ada 4 cara, karena ada 4 calon.

·           Maka, hal ini menggunakan prinsip perkalian sehingga susunan pengurus kelas dapat dibentuk dengan (3 x 2 x 4) cara = 24 cara.

·           Sehingga ada 24 susunan pengurus kelas yang dapat dibentuk.

b.      Dari angka 0,1,2,3,4,5 akan disusun bilangan ratusan. Berapa banyak bilangan yang terbentuk dari angka tersebut jika tidak ada nagka yang berulang?

 Jawab :

 Ada 6 angka yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5 akan dibentuk angka ratusan tidak berulang.

Untuk mengisi posisi ratusan dapat dipilih dari 5 angka,  angka 0 (nol) tidak termasuk, karena ratusan tidak diawali dengan 0. Maka masukan 5 pada kotak ratusan.

 Untuk mengisi posisi puluhan dapat dipilih dari 5 angka, selain angka yang telah dimasukan pada kolom ratusan. Maka masukan 5 pada kotak ratusan.

 Untuk mengisi posisi satuan dapat dipilih dari 4 puluhan. Tentunya pilihan angka itu yang belum digunakan untukmengisi posisi ratusan dan puluhan karena tidak boleh ada angka yang berulang. Maka masukan 4 pada kotak satuan.

3.      Permutasi

Permutasi adalah susunan yang mungkin dari unsur-unsur berbeda dari objek-objek dengan memperhatikan urutannya. Dalam permutasi urutan menjadi hal yang penting, karena bedaurutan maka menjadi susunan yang berbeda.

Banyaknya permutasi dari n objek yang disusun r objek dapat dinotasikan menjadi nPr sehingga dirumuskan menjadi:

nPr = n  (n-1)  (n-2) (n-3) ...  (n-r+1) atau

a.      Permutasi dengan Beberapa Objek Sama

Dengan berapa cara kata SAS dapat disusun?

Susunan dari kata SAS adalah SAS, ASS, SSA, maka ada 3 cara.

Untuk permutasi dengan beberapa objek sama dapat dirumuskan menjadi

1)      Banyaknya permutasidari n objekdengan y objek sama ( y < n), sebagaiberikut :

nPy = n!/y!

2)      Banyaknya permutasi yang terdiri n objek yang dipilih dari n objek, dimana terdapat beberapa objek yang sama, seperti m1 objek sama, m2 objek yang sama, m3 objek yang sama, adalah

nPm1, m2, m3 = n!/m1! m2! m2!

Contoh :

Carilah berapa abanyak permutasi yang dapat dibentuk dari kata MATEMATIKA?

Jawab :

 

Dari 10 huruf kata MATEMATIKA, terdapat 2 huruf M, 3 huruf A, dan 2 huruf T, maka permutasi yang dapat dibentuk adalah

 

10P2, 3, 3 = 10!/2!3!2!= 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3!/2! 3! 2! = 151.200

 

b.     Permutasi Siklis

 

Permutasi siklis merupakan permutasi yang susun melingkar. Seperti  P, Q, R disusun melingkar pada gambar dibawah ini :

Jika dilihat urutan tersebut searah dengan jarus jam maka didapat susunan PQR, RPQ, QPR adalah sama.

 

Maka banyaknya permutasi siklis dari 3 objek adalah = 3!/3 = 3 x 2!/3 = 2! = 2

Dapat dilihat terdapat 2 susunan yang berbeda adalah PQR dan RPQ

 

Secara umum banyaknya susunan dari permutasi siklis adalah

Banyaknya permutasi siklis dari n objek = (n-1)!

 

Contoh :

 

Dalam rapat terdapat 6 orangyang duduk mengelilingi meja bundar. Dengan berpapa cara mereka dapat duduk melingkar dengan urutan yang berbeda?

 

Jawab :

 

Banyaknya susunan tempat duduk melingkar yang dapat dibentuk adalah

(n-1)! = (6-1)! = 5! = 120 cara.

 

Maka banyaknya cara dari ke-6 orang yang mengikuti rapat agar dapat duduk melingkar mengelilingi meja bunda dengan urutan yang berbeda ada 120 cara.

 

1.      Kombinasi

Kombinasi adalah susunan objek/unsur dari sekumpulan objek yang mungkin dari beberapa unsur yang tidak memperhatikan urutan atau urutan tidak berpengarung.

 

Dalam kombinasi urutan menjadi tidak penting atau tidak berpengaruh. Jadi, susunan RPQ, PRQ, QPR adalah susunan yang sama. Dalam kombinasi yang membedakan suatu susunan adalah perbedaan unsur-unsurnya (objek-objeknya).

Banyaknya r objek dan n objek dapat dinotasikan menjadi C atau  nCr dapat dirumuskan menjadi

Pengertian dan Jenis-jenis Transformasi Geometri

“Kamu nih ya, bukannya belajar malah nonton Transformer”

“Eh iya, Ma. Bentar lagi habis kok filmnya”

“Besok ulangan matematika kan? Hayo kemarin mama lihat kamu masih bingung menyelesaikan soal transformasi geometri kan?”

“Transformer dan transformasi geometri kan ada persamaannya Ma”

“Apa persamaannya coba?”

Mahardikas, ada yang bisa jawab nggak tuh apakah ada persamaan transformasi geometri dengan Transformer?

 

Emang beneran masih bingung, Mahardikas? Tenang….biar nggak bingung baca terus artikel ini sampai habis ya.

Begini, Transformer itu film yang menceritakan perubahan kendaraan (mobil atau tank) menjadi sebuah robot yang memiliki senjata untuk mengalahkan musuh. Kalau kendaraan menjadi robot artinya melakukan perubahan apa?

Yap, tepat sekali. Perubahan bentuk. Jadi, fokusnya Transformer ialah kemampuan melakukan perubahan bentuk dari kendaraan menjadi robot.

Tuh kan bener berubah bentuk dari mobil jadi robot. (sumber: giphy.com)

Sekarang, transformasi geometri ya Mahardikas. Perubahan apa yang terjadi dalam transformasi geometri?

Transformasi geometri merupakan perubahan posisi (perpindahan) dari suatu posisi awal (x , y) ke posisi lain (x’ , y’)

Nah, sudah tahu kan pengertian dari transformasi geometri itu apa? Ada perbedaan dengan Transformer lho. Sekarang, lanjut simak yuk tentang jenis-jenis transformasi geometri.

Jenis-jenis Transformasi: 

 

1.      Translasi (Pergeseran)

Bermain perosotan tetap harus hati-hati. (sumber: giphy.com)

Translasi merupakan jenis transformasi yang memindahkan suatu titik sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak. Artinya, translasi itu hanya perpindahan titik ya Mahardikas. Kalau kamu perhatikan baik-baik, di perosotan itu hanya mengubah titik awal (puncak perosotan), menuju titik akhir (ujung perosotan).

2.      Refleksi (Pencerminan)

Refleksi dalam transformasi geometri ini dapat dikatakan pencerminan. Refleksi ini memindahkan semua titik dengan menggunakan sifat pencerminan pada cermin datar.

Coba lihat garis dan titik-titik merah pada gambar di atas. Garis dan titik-titik merah tersebut berpindah namun seperti halnya dihadapkan pada cermin datar. 

Rumus Refleksi

 

3.      Rotasi

Pernah ke pasar malam nggak? Bukan pergi ke pasar pada malam hari lho ya. Maksudnya pasar malam itu, pasar yang ada di malam hari tapi lokasinya di sekitar pemukiman rumah warga, misalnya di lapangan gitu. Kalau pernah, coba perhatikan salah saatu permainan yang ada di pasar malam deh. Seperti ini.

Bianglala tersebut merupakan contoh rotasi dalam transformasi geometri lho. Rotasi dalam hal ini dapat dipahami sebagai memindahkan suatu titik ke titik yang lain. Prinsipnya, yakni memutar terhadap sudut dan titik pusat tertentu yang memiliki jarak sama dengan setiap titik yang diputar. Perlu diingat ya bahwa rotasi itu tidak mengubah ukuran.

Rumus rotasi:

4.      Dilatasi

Perhatikan gambar dibawah ini 

Coba kalian perhatikan bedanya ukuran asli dengan ukuran mainan tersebut? Kira-kira berapa kali lipat ya besarnya?

 

Nah itulah yang dinamakan dilatasi dalam transformasi geometri. Dilatasi dapat dipahami sebagai bentuk pembesaran atau pengecilan dari titik-titik yang membentuk sebuah bangun.

Rumus Dilatasi

Kedudukan Garis Terhadap Bidang

 Garis Terletak pada Bidang

Sebuah garis dikatakan terletak pada bidang, jika garis dan bidang itu sekurang - kurangnya memiliki dua titik persekutuan.

 

Garis Sejajar Bidang

Sebuah garis dikatakan sejajar bidang, jika garis dan bidang itu tidak memiliki satupun titik persekutuan.

 

Garis Memotong atau Menembus Bidang

Sebuah garis dikatakan memotong atau menembus bidang, jika garis tersebut dan bidang hanya memiliki sebuah titik persekutuan. Titik persekutuan ini dinamakan titik potong atau titik tembus..
Sebagai contoh, perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini : 

·           Rusuk - rusuk kubus yang terletak pada bidang α adalah rusuk - rusuk EF, EH, FG, dan GH

·           Rusuk - rusuk kubus yang sejajar dengan bidang α adalah rusuk - rusuk AB, AD, BC, dan CD

·           Rusuk - rusuk kubus yang memotong atau menembus bidang α adalah rusuk - rusuk AE, BF, CG, dan DH

 

Dalil - Dalil Garis Sejajar Bidang 

·           Jika garis g sejajar dengan garis h dan garis h terletak pada bidang α, maka garis g sejajar dengan bidang α

·           Jika bidang α melalui garis g dan garis g sejajar terhadap bidang β, maka garis potong antara bidang α dengan bidang β akan sejajar terhadap garis g

·           Jika garis g sejajar dengan garis h dan garis h sejajar terhadap bidang α, maka garis g sejajar terhadap bidang α

·           Jika bidang α dan bidang β berpotongan dan masing - masing sejajar terhadap garis g maka garis potong antara bidang α dan bidang &beta akan sejajar dengan garis g.

Titik Tembus Garis dan Bidang yang Berpotongan 

Buat bidang β melalui garis g

Tentukan garis potong abtara bidang α dan β, yaitu garis (α, β)

Titik potong gartis g dengan garis (α, β) adalah titik tembusnya adalah titik T

Kedudukan Bidang Terhadap Bidang Lain

·           Dua bidang Berimpit

Bidang α dan β dikatakan berimpit, jika setiap titik yang terletak pada bidang &alpha juga terletakpada bidang β 

·           Dua Bidang Sejajar

Bidang α dan β dikatakan sejajar, jika kedua bidang itu tidak memiliki satupun titik persekutuan..

·           Dua Bidang Berpotongan

Bidang α dan β dikatakan berpotongan, jika kedua bidang itu tepat memiliki tepat sebuah garis persekutuan..

Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang Dalam Ruang

 

Titik

Sebuah hanya dapat ditentukan oleh letaknya, tetapi tidak memiliki ukuran (besaran) sehingga dapat dikatakan titik tidak berdimensi. Sebuah titik dilukiskan dengan tanda noktah dan diberi huruf kapital..

 

Garis

Garis hanya mempunyai ukuran panjang tetapi tidak mempunyai ukuran lebar. Garis merupakan himpunan titik - titik yang hanya memiliki ukuran panjang, sehingga dikatakan garis berdimensi satu.. 

 

Bidang

Bidang merupakan himpunan titik - titik yang memiliki ukuran panjang dan luas, sehingga dapat dikatakan bidang berdimensi dua..

 

Aksioma Garis dan Bidang

Aksioma/postulat adalah pernyataan yang diandaikan benar dalam sebuah sistem dan kebenaran itu diterima tanpa pembuktian..

 

Melalui sebuah titik sebarang yang tidak berimpit hanya dapat dibuat sebuah garis lurus

Jika sebuah garis dan sebuah bidang memiliki dua titik persekutuan, maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang.

 

Melalui tiga buah titik sebarang tidak segaris hanya dapat dibuat sebuah bidang

Berdasarkan aksioma - aksioma ini dapat diturunkan dalil - dalil untuk menentukan sebuah bidang : 

·         Sebuah bidang ditentukan oleh tiga titik sebarang yang tidak segaris

·         Sebuah bidang ditentukan oleh sebuah garis dan sebuah titik (titik terletak di luar garis)

·         Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis berpotongan

·         Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis sejajar

Kedudukan Titik Terhadap Garis dan Titik Terhadap Bidang

·      Titik Terletak pada Garis

Sebuah titik dikatakan terletak pada garis, jika titik tersebut dapat dilalui oleh garis 

 

·      Titik di Luar Garis

Sebuah titik dikatakan berada di luar garis, jika titik tersebut tidak dapat dilalui oleh garis 

·      Titik Terletak pada Bidang

Sebuah titik dikatakan terletak pada bidang α, jika titik tersebut dapat dilalui oleh bidang α

·      Titik di Luar Bidang

Sebuah titik dikatakan berada di luar bidang α, jika titik tersebut tidak dapat dilalui oleh bidang α 

Kedudukan Garis Terhadap Garis Lain

Dua Garis Berpotongan

Dua buah garis dikatakan berpotongan, jika kedua garis itu terletak pada sebuah bidang dan memiliki sebuah titik persekutuan. Titik persekutuan ini disebut titik potong. Jika dua buah garis berpotongan pada lebih dari satu titik potong, maka kedua garis ini dikatakan berimpit

 

Dua Garis Sejajar

Dua buah garis dikatakan sejajar, jika kedua garis itu terletak pada sebuah bidang dan tidak memiliki satupun titik persekutuan 

 

Dua garis bersilangan

Dua buah garis dikatakan bersilangan (tidak berpotongan dan tidak sejajar) jika kedua garis itu tidak terletak pada sebuah bidang.

Aksioma Dua Garis Sejajar

Melalui sebuah titik yang berada di luar sebuah garis tertentu hanya dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis tertentu.

Dalil tentang dua garis sejajar : 

·           Jika garis a sejajar dengan garis b dan garis b sejajar dengan garis c, maka garis a sejajar dengan garis c..

·           Jika garis a sejajar garis b dan memotong garis c, garis b sejajar garis a dan juga memotong garis c, maka garis - garis a,b, dan c terletak pada sebuah bidang.

·           Jika garis a sejajar dengan garis b dan garis b menembus bidang, maka garis a juga menembus bidang.

Latihan Soal Persamaan Lingkaran