Kedudukan Garis Terhadap Bidang

 Garis Terletak pada Bidang

Sebuah garis dikatakan terletak pada bidang, jika garis dan bidang itu sekurang - kurangnya memiliki dua titik persekutuan.

 

Garis Sejajar Bidang

Sebuah garis dikatakan sejajar bidang, jika garis dan bidang itu tidak memiliki satupun titik persekutuan.

 

Garis Memotong atau Menembus Bidang

Sebuah garis dikatakan memotong atau menembus bidang, jika garis tersebut dan bidang hanya memiliki sebuah titik persekutuan. Titik persekutuan ini dinamakan titik potong atau titik tembus..
Sebagai contoh, perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini : 

·           Rusuk - rusuk kubus yang terletak pada bidang α adalah rusuk - rusuk EF, EH, FG, dan GH

·           Rusuk - rusuk kubus yang sejajar dengan bidang α adalah rusuk - rusuk AB, AD, BC, dan CD

·           Rusuk - rusuk kubus yang memotong atau menembus bidang α adalah rusuk - rusuk AE, BF, CG, dan DH

 

Dalil - Dalil Garis Sejajar Bidang 

·           Jika garis g sejajar dengan garis h dan garis h terletak pada bidang α, maka garis g sejajar dengan bidang α

·           Jika bidang α melalui garis g dan garis g sejajar terhadap bidang β, maka garis potong antara bidang α dengan bidang β akan sejajar terhadap garis g

·           Jika garis g sejajar dengan garis h dan garis h sejajar terhadap bidang α, maka garis g sejajar terhadap bidang α

·           Jika bidang α dan bidang β berpotongan dan masing - masing sejajar terhadap garis g maka garis potong antara bidang α dan bidang &beta akan sejajar dengan garis g.

Titik Tembus Garis dan Bidang yang Berpotongan 

Buat bidang β melalui garis g

Tentukan garis potong abtara bidang α dan β, yaitu garis (α, β)

Titik potong gartis g dengan garis (α, β) adalah titik tembusnya adalah titik T

Kedudukan Bidang Terhadap Bidang Lain

·           Dua bidang Berimpit

Bidang α dan β dikatakan berimpit, jika setiap titik yang terletak pada bidang &alpha juga terletakpada bidang β 

·           Dua Bidang Sejajar

Bidang α dan β dikatakan sejajar, jika kedua bidang itu tidak memiliki satupun titik persekutuan..

·           Dua Bidang Berpotongan

Bidang α dan β dikatakan berpotongan, jika kedua bidang itu tepat memiliki tepat sebuah garis persekutuan..

Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang Dalam Ruang

 

Titik

Sebuah hanya dapat ditentukan oleh letaknya, tetapi tidak memiliki ukuran (besaran) sehingga dapat dikatakan titik tidak berdimensi. Sebuah titik dilukiskan dengan tanda noktah dan diberi huruf kapital..

 

Garis

Garis hanya mempunyai ukuran panjang tetapi tidak mempunyai ukuran lebar. Garis merupakan himpunan titik - titik yang hanya memiliki ukuran panjang, sehingga dikatakan garis berdimensi satu.. 

 

Bidang

Bidang merupakan himpunan titik - titik yang memiliki ukuran panjang dan luas, sehingga dapat dikatakan bidang berdimensi dua..

 

Aksioma Garis dan Bidang

Aksioma/postulat adalah pernyataan yang diandaikan benar dalam sebuah sistem dan kebenaran itu diterima tanpa pembuktian..

 

Melalui sebuah titik sebarang yang tidak berimpit hanya dapat dibuat sebuah garis lurus

Jika sebuah garis dan sebuah bidang memiliki dua titik persekutuan, maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang.

 

Melalui tiga buah titik sebarang tidak segaris hanya dapat dibuat sebuah bidang

Berdasarkan aksioma - aksioma ini dapat diturunkan dalil - dalil untuk menentukan sebuah bidang : 

·         Sebuah bidang ditentukan oleh tiga titik sebarang yang tidak segaris

·         Sebuah bidang ditentukan oleh sebuah garis dan sebuah titik (titik terletak di luar garis)

·         Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis berpotongan

·         Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis sejajar

Kedudukan Titik Terhadap Garis dan Titik Terhadap Bidang

·      Titik Terletak pada Garis

Sebuah titik dikatakan terletak pada garis, jika titik tersebut dapat dilalui oleh garis 

 

·      Titik di Luar Garis

Sebuah titik dikatakan berada di luar garis, jika titik tersebut tidak dapat dilalui oleh garis 

·      Titik Terletak pada Bidang

Sebuah titik dikatakan terletak pada bidang α, jika titik tersebut dapat dilalui oleh bidang α

·      Titik di Luar Bidang

Sebuah titik dikatakan berada di luar bidang α, jika titik tersebut tidak dapat dilalui oleh bidang α 

Kedudukan Garis Terhadap Garis Lain

Dua Garis Berpotongan

Dua buah garis dikatakan berpotongan, jika kedua garis itu terletak pada sebuah bidang dan memiliki sebuah titik persekutuan. Titik persekutuan ini disebut titik potong. Jika dua buah garis berpotongan pada lebih dari satu titik potong, maka kedua garis ini dikatakan berimpit

 

Dua Garis Sejajar

Dua buah garis dikatakan sejajar, jika kedua garis itu terletak pada sebuah bidang dan tidak memiliki satupun titik persekutuan 

 

Dua garis bersilangan

Dua buah garis dikatakan bersilangan (tidak berpotongan dan tidak sejajar) jika kedua garis itu tidak terletak pada sebuah bidang.

Aksioma Dua Garis Sejajar

Melalui sebuah titik yang berada di luar sebuah garis tertentu hanya dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis tertentu.

Dalil tentang dua garis sejajar : 

·           Jika garis a sejajar dengan garis b dan garis b sejajar dengan garis c, maka garis a sejajar dengan garis c..

·           Jika garis a sejajar garis b dan memotong garis c, garis b sejajar garis a dan juga memotong garis c, maka garis - garis a,b, dan c terletak pada sebuah bidang.

·           Jika garis a sejajar dengan garis b dan garis b menembus bidang, maka garis a juga menembus bidang.

Latihan Soal Persamaan Lingkaran

Persamaan Lingkaran

 

Persamaan Lingkaran

 

Lingkaran atau bisa disebut sebagai segi-tak hingga dalam bidang geometri. Dalam bidang kartesius, lingkaran adalah titik-titik yang berjumlah tak hingga yang memiliki jarak yang sama dengan pusat lingkaran. Jarak dari setiap titik ke titik pusat biasa disebut sebagai jari-jari r.

 

Persamaan Lingkaran

Terdapat beberapa macam persamaan lingkaran, yaitu persamaan yang dibentuk dari titik pusat dan jari-jari serta suatu persamaan yang bisa dicari titik pusat dan jari-jarinya.

 

Persamaan umum lingkaran

Dalam lingkaran, terdapat persamaan umum, yaitu:

adalah bentuk umum persamaannya.

 

Dari persamaan diatas, dapat ditentukan titik pusat serta jari-jari lingkarannya, yaitu:

 

Titik pusat lingkaran

Dan untuk jari-jari lingkaran adalah

Persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b) dan jari-jari r

Dari suatu lingkaran jika diketahui titik pusat dan jari-jarinya, dapat diperoleh persamaan lingkarannya, yaitu dengan rumus:

jika diketahui titik pusat dan jari-jari lingkaran dimana (a,b) adalah titik pusat dan r adalah jari-jari dari lingkaran tersebut.

 

Dari persamaan yang diperoleh, kita dapat menentukan apakah suatu titik terletak pada lingkaran, di dalam lingkaran atau diluar lingkaran. Untuk menentukan letak titik tersebut, yaitu dengan subtitusi titik pada variabel x dan y kemudian dibandingkan hasilnya dengan kuadrat dari jari-jari.

Suatu titik M (x₁, y₁) terletak:

 

Pada lingkaran: \rightarrow (x₁-a)² + (y₂-b)² = r²

Di dalam lingkaran: \rightarrow (x₁-a)² + (y₂-b)² < r²

Di luar lingkaran: \rightarrow (x₁-a)² + (y₂-b)² > r²

 

Persamaan lingkaran dengan dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r

Persamaan lingkaran jika titik pusat di O(0,0), maka subtitusi pada bagian sebelumnya, yaitu:

Dari persamaan diatas, juga dapat ditentukan letak suatu titik terhadap lingkaran tersebut.

 

gambar persamaan lingkaran

Dari persamaan kuadrat diatas, dengan membandingkan nilai diskriminannya, dapat dilihat apakah garis tidak menyinggung/memotong, menyinggung atau memotong lingkaran.

 

Garis h tidak memotong/menyinggung lingkaran, maka  D<0

 

Garis h menyinggung lingkaran, maka D=0

 

Garis h memotong lingkaran, maka D>0

Latihan Soal

Silahkan catat pada buku catatan, kemudian mengisi ABSENSI pilih materi Fungsi Invers dan Fungsi Komposisi

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

Apakah Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers itu?

Materi fungsi komposisi dan fungsi invers menjadi salah satu materi bahasan dalam ilmu matematika di jenjang pendidikan Sekolah Menengah Atas (SMA). Materi ini tergolong cukup rumit. Sebaiknya, Anda paham betul terkait teori, konsep dan jenis himpunan dalam matematika agar lebih mudah menguasai materi ini

 

Karena umumnya kesulitan menguasai materi ini akibat belum mengerti konsep fungsi yang saling terhubung dalam relasi dari himpunan A ke himpunan B. Untuk itu, bersiaplah menyimak materi ini dengan teliti dan cermat

 

 

Teori, Konsep dan Jenis Himpunan dalam Matematika

Secara garis besar, pengertian fungsi atau disebut juga pemetaan merupakan suatu relasi atau hubungan khusus antara dua himpunan A dan B

 

Relasi di antara dua himpunan A dan B yaitu adanya pemasangan atau pemetaan setiap anggota dalam himpunan A dengan setiap anggota dalam himpunan B tepat satu-satu.

 

Jadi Secara singkat, fungsi merupakan suatu relasi namun suatu relasi belum bisa dianggap sebagai fungsi

 

Himpunan merupakan kumpulan objek yang dapat diidentifikasi dengan jelas. Objek dalam himpunan dinamakan elemen atau anggota dari himpunan.

 

Misalnya, himpunan dalam matematika, yaitu himpunan bilangan bulat kurang dari 5 berarti anggota dari himpunan tersebut adalah 1, 2, 3, 4 dan 5. Untuk artikel tentang himpunan sendiri dapat dibaca pada pengertian himpunan contoh serta cara penulisan

 

Contoh dari fungsi dilambangkan dengan f yang memiliki relasi antara x sebagai anggota dari himpunan A dengan y sebagai anggota dari himpunan B maka dinotasikan seperti f : x → y atau f (x) = y

Setelah paham dengan teori, konsep dan jenis himpunan dalam matematika, maka pembahasan akan berlanjut pada materi inti, yaitu fungsi komposisi dan fungsi invers

 

Fungsi Komposisi

Ketika terdapat dua fungsi pada sebuah kasus dalam persoalan matematika maka kedua jenis fungsi tersebut bisa dinotasikan sebagai fungsi f (x) dan g (x)

 

Kedua jenis fungsi tersebut juga bisa membentuk fungsi baru dengan operasi fungsi aljabar menggunakan sistem operasi komposisi

 

Operasi komposisi dilambangkan dengan ‘o’ atau disebut dengan komposisi atau bundaran yang akan menghasilkan fungsi komposisi. Berikut ini penerapannya

(g o f) (x) = g (f (x)) → fungsi f (x) dikomposisikan atau dimasukkan dalam fungsi g (x)

 

(f o g) (x) = f (g (x)) → fungsi g (x) dikomposisikan atau dimasukkan dalam fungsi f (x)

 

Contoh soal:

 

Jika diketahui f (x) = 3x + 4 dan g (x) = 3x maka berapa nilai dari (f o g) (2).

 

Jawaban:

 

(f o g) (x) = f (g (x))

 

= 3 (3x) + 4

 

= 9x + 4

 

(f o g) (2) = 9(2) + 4

 

= 22

 

Fungsi Invers

Fungsi invers terjadi ketika suatu fungsi atau dinotasikan dengan f (x) yang memiliki relasi dari setiap anggota himpunan A ke setiap anggota himpunan B, menjadi suatu fungsi invers atau dinotasikan dengan f-1 (x) yang memiliki relasi dari setiap anggota himpunan B ke setiap anggota himpunan A. Maka, fungsi invers diperoleh dari f : A → B menjadi f-1 B → A sehingga daerah asal atau domain f (x) menjadi daerah kawan atau kodomain yang menjadi daerah hasil atau range f-1 (x) yaitu himpunan A. Begitu juga sebaliknya yang terjadi dengan himpunan B.

 

Contoh soal: Jika diketahui fungsi f (x) = 5x +20 maka tentukanlah fungsi invers f-1 (x) tersebut.

 

Jawaban: Fungsi f (x) dinyatakan dalam bentuk y sama dengan fungsi x → f (x) = y

 

Jadi, f (x) = 5x + 20 → y = 5x + 20

 

Selanjutnya, mengubah x menjadi f-1 (y)

 

Sehingga,

 

y = 5x + 20

 

5x = y – 20

 

x = (y – 20)/5

 

x = y/5 – 4

 

f-1 (y) = y/5 – 4

 

f-1 (x) = x/5 – 4 → fungsi invers dari f (x) = 5x + 20

Setelah membaca materi diatas, silahkan mengisi ABSENSI