Persamaan Lingkaran

 

Persamaan Lingkaran

 

Lingkaran atau bisa disebut sebagai segi-tak hingga dalam bidang geometri. Dalam bidang kartesius, lingkaran adalah titik-titik yang berjumlah tak hingga yang memiliki jarak yang sama dengan pusat lingkaran. Jarak dari setiap titik ke titik pusat biasa disebut sebagai jari-jari r.

 

Persamaan Lingkaran

Terdapat beberapa macam persamaan lingkaran, yaitu persamaan yang dibentuk dari titik pusat dan jari-jari serta suatu persamaan yang bisa dicari titik pusat dan jari-jarinya.

 

Persamaan umum lingkaran

Dalam lingkaran, terdapat persamaan umum, yaitu:

adalah bentuk umum persamaannya.

 

Dari persamaan diatas, dapat ditentukan titik pusat serta jari-jari lingkarannya, yaitu:

 

Titik pusat lingkaran

Dan untuk jari-jari lingkaran adalah

Persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b) dan jari-jari r

Dari suatu lingkaran jika diketahui titik pusat dan jari-jarinya, dapat diperoleh persamaan lingkarannya, yaitu dengan rumus:

jika diketahui titik pusat dan jari-jari lingkaran dimana (a,b) adalah titik pusat dan r adalah jari-jari dari lingkaran tersebut.

 

Dari persamaan yang diperoleh, kita dapat menentukan apakah suatu titik terletak pada lingkaran, di dalam lingkaran atau diluar lingkaran. Untuk menentukan letak titik tersebut, yaitu dengan subtitusi titik pada variabel x dan y kemudian dibandingkan hasilnya dengan kuadrat dari jari-jari.

Suatu titik M (x₁, y₁) terletak:

 

Pada lingkaran: \rightarrow (x₁-a)² + (y₂-b)² = r²

Di dalam lingkaran: \rightarrow (x₁-a)² + (y₂-b)² < r²

Di luar lingkaran: \rightarrow (x₁-a)² + (y₂-b)² > r²

 

Persamaan lingkaran dengan dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r

Persamaan lingkaran jika titik pusat di O(0,0), maka subtitusi pada bagian sebelumnya, yaitu:

Dari persamaan diatas, juga dapat ditentukan letak suatu titik terhadap lingkaran tersebut.

 

gambar persamaan lingkaran

Dari persamaan kuadrat diatas, dengan membandingkan nilai diskriminannya, dapat dilihat apakah garis tidak menyinggung/memotong, menyinggung atau memotong lingkaran.

 

Garis h tidak memotong/menyinggung lingkaran, maka  D<0

 

Garis h menyinggung lingkaran, maka D=0

 

Garis h memotong lingkaran, maka D>0

Latihan Soal

Silahkan catat pada buku catatan, kemudian mengisi ABSENSI pilih materi Fungsi Invers dan Fungsi Komposisi

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

Apakah Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers itu?

Materi fungsi komposisi dan fungsi invers menjadi salah satu materi bahasan dalam ilmu matematika di jenjang pendidikan Sekolah Menengah Atas (SMA). Materi ini tergolong cukup rumit. Sebaiknya, Anda paham betul terkait teori, konsep dan jenis himpunan dalam matematika agar lebih mudah menguasai materi ini

 

Karena umumnya kesulitan menguasai materi ini akibat belum mengerti konsep fungsi yang saling terhubung dalam relasi dari himpunan A ke himpunan B. Untuk itu, bersiaplah menyimak materi ini dengan teliti dan cermat

 

 

Teori, Konsep dan Jenis Himpunan dalam Matematika

Secara garis besar, pengertian fungsi atau disebut juga pemetaan merupakan suatu relasi atau hubungan khusus antara dua himpunan A dan B

 

Relasi di antara dua himpunan A dan B yaitu adanya pemasangan atau pemetaan setiap anggota dalam himpunan A dengan setiap anggota dalam himpunan B tepat satu-satu.

 

Jadi Secara singkat, fungsi merupakan suatu relasi namun suatu relasi belum bisa dianggap sebagai fungsi

 

Himpunan merupakan kumpulan objek yang dapat diidentifikasi dengan jelas. Objek dalam himpunan dinamakan elemen atau anggota dari himpunan.

 

Misalnya, himpunan dalam matematika, yaitu himpunan bilangan bulat kurang dari 5 berarti anggota dari himpunan tersebut adalah 1, 2, 3, 4 dan 5. Untuk artikel tentang himpunan sendiri dapat dibaca pada pengertian himpunan contoh serta cara penulisan

 

Contoh dari fungsi dilambangkan dengan f yang memiliki relasi antara x sebagai anggota dari himpunan A dengan y sebagai anggota dari himpunan B maka dinotasikan seperti f : x → y atau f (x) = y

Setelah paham dengan teori, konsep dan jenis himpunan dalam matematika, maka pembahasan akan berlanjut pada materi inti, yaitu fungsi komposisi dan fungsi invers

 

Fungsi Komposisi

Ketika terdapat dua fungsi pada sebuah kasus dalam persoalan matematika maka kedua jenis fungsi tersebut bisa dinotasikan sebagai fungsi f (x) dan g (x)

 

Kedua jenis fungsi tersebut juga bisa membentuk fungsi baru dengan operasi fungsi aljabar menggunakan sistem operasi komposisi

 

Operasi komposisi dilambangkan dengan ‘o’ atau disebut dengan komposisi atau bundaran yang akan menghasilkan fungsi komposisi. Berikut ini penerapannya

(g o f) (x) = g (f (x)) → fungsi f (x) dikomposisikan atau dimasukkan dalam fungsi g (x)

 

(f o g) (x) = f (g (x)) → fungsi g (x) dikomposisikan atau dimasukkan dalam fungsi f (x)

 

Contoh soal:

 

Jika diketahui f (x) = 3x + 4 dan g (x) = 3x maka berapa nilai dari (f o g) (2).

 

Jawaban:

 

(f o g) (x) = f (g (x))

 

= 3 (3x) + 4

 

= 9x + 4

 

(f o g) (2) = 9(2) + 4

 

= 22

 

Fungsi Invers

Fungsi invers terjadi ketika suatu fungsi atau dinotasikan dengan f (x) yang memiliki relasi dari setiap anggota himpunan A ke setiap anggota himpunan B, menjadi suatu fungsi invers atau dinotasikan dengan f-1 (x) yang memiliki relasi dari setiap anggota himpunan B ke setiap anggota himpunan A. Maka, fungsi invers diperoleh dari f : A → B menjadi f-1 B → A sehingga daerah asal atau domain f (x) menjadi daerah kawan atau kodomain yang menjadi daerah hasil atau range f-1 (x) yaitu himpunan A. Begitu juga sebaliknya yang terjadi dengan himpunan B.

 

Contoh soal: Jika diketahui fungsi f (x) = 5x +20 maka tentukanlah fungsi invers f-1 (x) tersebut.

 

Jawaban: Fungsi f (x) dinyatakan dalam bentuk y sama dengan fungsi x → f (x) = y

 

Jadi, f (x) = 5x + 20 → y = 5x + 20

 

Selanjutnya, mengubah x menjadi f-1 (y)

 

Sehingga,

 

y = 5x + 20

 

5x = y – 20

 

x = (y – 20)/5

 

x = y/5 – 4

 

f-1 (y) = y/5 – 4

 

f-1 (x) = x/5 – 4 → fungsi invers dari f (x) = 5x + 20

Setelah membaca materi diatas, silahkan mengisi ABSENSI