DERET GEOMETRI

Deret Geometri 

Rumus Mencari Sn

 Sn adalah jumlah suku ke n pada barisan dan deret. Nah bagaimana cara kita mencari tau Sn   pada barisan dan deret geometri? Di bawah ini adalah rumusnya. Misalnya kita punya barisan dan deret

Oke, itu dia rumus Sn   dalam barisan dan deret geometri. Nah selain mencari Un  dan Sn  , kita akan bahas tentang barisan dan deret tak hingga.

Barisan dan deret tak hingga itu terbagi menjadi 2 jenis, ada tak hingga divergen dan tak hingga konvergen. Nah keduanya memiliki perbedaan yang cukup penting. Yuk kita lihat pengertian dari ke dua jenis barisan tak hingga tersebut beserta perbedaannya.

Deret Geometri Tak Hingga Divergen

Deret geometri tak hingga divergen adalah suatu deret yang nilai bilangannya semakin membesar dan tidak bisa dihitung jumlahnya. Bisa kita lihat seperti di bawah ini,

1, 3, 9, 27, 81, …………… Kalau ditanya berapa sih jumlah seluruhnya? Jumlah seluruhnya tidak bisa dihitung karena nilainya semakin besar.

Deret Geometri Tak Hingga Konvergen

Berbeda dengan divergen, derek geometri tak hingga konvergen merupakan suatu deret di mana nilai bilangannya semakin mengecil dan dapat dihitung jumlahnya. Seperti di bawah ini,  

Semakin lama nilainya semakin mengecil dan ujungnya akan mendekati angka 0. Hal ini membuat deret geometri tak hingga konvergen dapat dihitung jika ditanyakan jumlah seluruhnya.

Lalu bagaimana untuk menghitung jumlah seluruh dari tak hingga konvergen?

Sebelum masuk ke rumus, ada syarat terlebih dahulu jika kamu bertemu dengan deret geometri tak hingga konvergen, yaitu rasionya atau pengalinya harus antara -1 sampai 1 (-1 > r > 1) dan ini berlaku untuk negatif dan positif.

Nah itu dia, jadi hasil jumlah S tak hingga nya adalah 8. Ingat ya, pada deret geometri tak hingga, kita dapat mencari jumlah dari keseluruhannya. Hal ini dikarenakan nilainya yang semakin mengecil, mendekati 0. Seperti ini ya,

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Barisan geometri merupakan barisan yang memenuhi sifat hasil bagi sebuah suku dengan suku sebelumnya yang berurutan. hal tersebut bernilai konstan. Selain itu, barisan geometri juga sering diistilahkan sebagai “barisan ukur”. Oh iya, barisan deret geometri ini masih berhubungan dengan barisan dan deret aritmatika juga .

Misalnya barisan geometri tersebut  adalah a,b, dan c, maka c/b = b/a = konstan. Kemudian dari situ kita akan mendapatkan hasil bagi suku yang berdekatan dan itu disebut rasio barisan geometri, bisa dilambangkan dengan “r”.

Contoh lebih mudahnya begini, misal kamu punya barisan dan deret seperti ini, 1, 3, 9, 27, …….dst

Dari barisan dan deret tersebut, kita bisa lihat antara suku pertama dengan suku kedua, antara suku kedua dan suku ketiga dan seterusnya selalu punya pengali yang sama. Nah, supaya lebih mudah, harus mengetahui terlebih dahulu ( ) nya atau suku pertama. Selain suku pertama, kamu juga harus tahu rasionya ( ).

Rumus Mencari Un

Untuk mencari suku ke n pada barisan dan deret geometri, bisa menggunakan rumus berikut ini

Misalnya barisan dan deret

Rumus Mencari Sn

 Sn adalah jumlah suku ke n pada barisan dan deret. Nah bagaimana cara kita mencari tau Sn pada barisan dan deret geometri? Di bawah ini adalah rumusnya. Misalnya kita punya barisan dan deret

Selanjutnya di bawah ini adalah rumus mencari Sn

Barisan dan deret tak hingga itu terbagi menjadi 2 jenis nih Squad, ada tak hingga divergen dan tak hingga konvergen. Nah keduanya memiliki perbedaan yang cukup penting. Yuk kita lihat pengertian dari ke dua jenis barisan tak hingga tersebut beserta perbedaannya.

Deret Geometri Tak Hingga Divergen

Deret geometri tak hingga divergen adalah suatu deret yang nilai bilangannya semakin membesar dan tidak bisa dihitung jumlahnya. Bisa kita lihat seperti di bawah ini,

1, 3, 9, 27, 81, …………… Kalau ditanya berapa sih jumlah seluruhnya? Jumlah seluruhnya tidak bisa dihitung karena nilainya semakin besar.

Deret Geometri Tak Hingga Konvergen

Berbeda dengan divergen, derek geometri tak hingga konvergen merupakan suatu deret di mana nilai bilangannya semakin mengecil dan dapat dihitung jumlahnya. Seperti di bawah ini,

Semakin lama nilainya semakin mengecil dan ujungnya akan mendekati angka 0. Hal ini membuat deret geometri tak hingga konvergen dapat dihitung jika ditanyakan jumlah seluruhnya.

Lalu bagaimana untuk menghitung jumlah seluruh dari tak hingga konvergen?

Sebelum masuk ke rumus, ada syarat terlebih dahulu jika kamu bertemu dengan deret geometri tak hingga konvergen, yaitu rasionya atau pengalinya harus antara -1 sampai 1 (-1 > r > 1) dan ini berlaku untuk negatif dan positif.

Rumus deret geomerti tak hingga konvergen

Contoh:

1.     Diketahui barisan geometri dengan suku pertama adalah 24 dan suku ke-3 adalah 

   Suku ke-5 barisan tersebut adalah ....
       Pembahasan:

1.      Rumus suku ke-n dari barisan aritmetika: −18,−15,−12,−9, … adalah….

Pembahasan:

Barisan itu adalah barisan aritmetika karena memiliki selisih suku yang  berdekatan tetap. Diketahui a=−1 dan b=3, sehingga

Un=a+(n−1)b

     =−18+(n–1)×3

     =−18+3n–3=3n–21
Jadi, rumus umum suku ke-nn adalah Un=3n−21

2.      Diketahui suku ke-3 dan suku ke-5 dari barisan aritmetika secara berturut - turut adalah  −5  dan −9. Suku ke-10 dari barisan tersebut adalah ….

Pembahasan:

Diketahui rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah 

 Un=a+(n−1))b. 

Akan dicari nilai dari b (beda) sebagai berikut : 

Selanjutnya, akan dicari nilai a (suku pertama) dengan menggunakan persamaan             U3=−5             sebagai berikut.

       U3=a+2b=−5

a+2b=−5

a–4=−5

a=−1
      

Suku ke-10 barisan tersebut adalah U10=a+9b=−1+9(−2)=−19

4.      Diketahui deret 

 Jumlah suku takterhingganya adalah ….

Pembahasan :

Tugas 2. 1 
Silahkan Catat semua materi kemudian diupload ke Tugas 2.1

DERET ARITMATIKA

B.     Deret Aritmetika (Deret Hitung)

Deret aritmetika merupakan jumlahan beruntun suku – suku barisan aritmetika. Jika U1, U2, U3, ..., Un merupakan barisan aritmetika maka U1 + U2 + U3 + ... + Un merupakan deret aritmetika dengan Un adalah suku ke-n. Jumlah n suku pertama deret tersebut ditulis Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un

Sn = a    + (a+b)  + (a+2b)  + ... + (a+(n-1)b) ......... (i)

Jika urutan penulisan suku – suku dibalik maka diperoleh

Sn = Un + (Un-b) + (Un-2b) + ... + a ....................... (ii)

Dengan menjumlahkan persamaan (i) dan (ii) diperoleh

dengan        Sn         : jumlah n suku pertama

                   Un        : suku ke – n

                   a          : suku pertama

                   b          : beda

                   n          : banyak suku

Untuk setiap n berlaku Un = Sn – Sn-1

Tugas 1. 2 ( Deret )

Referensi                                                                                                                  

http://modulmatematikasmk.blogspot.com/2017/02/barisan-dan-deret-aritmetika.html

BARISAN ARITMETIKA

BARISAN DAN DERET ARITMETIKA

A.     Barisan Aritmatika

Perhatikan gambar berikut! Apa pendapatmu tentang gambar tersebui? Jelaskan!

 

Perhatikan barisan bilangan berikut ini :

a.   1, 3, 5, 7, ..., 99

b.   2, 4, 6, 8, ..., 100

c.   16, 13, 10, 7, ..., - 56.

Dari beberapa barisan bilangan di atas tampak bahwa antara suku – suku pada barisan itu memiliki pola tertentu yaitu selisih antara dua suku yang berurutan selalu sama (tetap). Barisan dengan pola tersebut dinamakan barisan aritmetika. Selisih tetap antara dua suku berurutan disebut dengan beda (b). Jadi b = U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = .... = Un – Un-1.

Jika suku pertama (U1) dinyatakan a, selisih (beda) antara dua suku berurutan diberi notasi b dan suku barisan ke-n dilambangkan dengan Un maka maka bentuk umum barisan arimetika dinyatakan sebagai berikut:

U1 = a                               = a + 0.b = a + (1 – 1)b

U2 = U1 + b = a + b           = a + 1.b = a + (2 – 1)b

U3 = U2 + b = (a + b) + b   = a + 2.b = a + (3 – 1)b

U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3.b = a + (4 – 1)b

dst

Jadi rumus suku ke-n barisan aritmatika Un = a + (n – 1)b dengan b = Un – Un-1 sebuah konstanta yang tidak tergantung dengan nilai n.

Contoh :

1.   Tentukan suku pertama, beda, rumus suku ke-n dan suku ke-12 dari barisan 4, 8, 12, 16, ...

     Jawab :

     Suku pertama U1 = a = 4

     Beda (b) = U2 – U1 = 8 – 4 = 4

     Rumus suku ke-n (Un) = a + (n – 1)b

                                     = 4 + (n – 1)4

                                     = 4 + 4n – 4

                                     = 4n

     Suku ke-12 (U12) = 4.12 = 48

2.   Suatu perusahaan pada tahun pertama memproduksi 5.000 unit barang. Pada tahun berikutnya produksi turun secara bertahap sebesar 80 unit per tahun. Pada tahun ke berapa perusahaan tersebut memproduksi 3.000 unit barang.

     Jawab :

     Penurunan produksi bernilai tetap,  merupakan persoalan barisan aritmatika dengan beda (b) = - 80, a = 5.000 dan Un = 3.000 sehingga didapat

     Un         = a + (n – 1)b

     3.000    = 5.000 + (n – 1).(- 80)

     3.000    = 5.000 – 80n + 80

     80n       = 2.000 + 80

     80n       = 2.080

     n           =26

     Jadi, perusahaan memproduksi 3.000 unit barang terjadi pada tahun ke – 26.

3.   Diketahui barisan aritmetika dengan suku kelima sama dengan 5 dan suku kesepuluh sama dengan 15. Tentukan suku ke-20 dari barisan tersebut.

Jawab :

U5 = 5               ® a + (5 – 1)b = 5     ® a + 4b = 5

U10 = 15           ® a + (10 – 1)b = 15 ® a + 9b = 15

                                                                 ---------------- -

                                                                   -5b = - 10

                                                                      b  = 2

a + 4b = 5

a + 4.2= 5

a + 8   = 5

a        = - 3

U20 = a + (20 – 1)b = - 3 + 19.2 = - 3 + 38 = 35

Sifat Barisan Aritmetika : Jika bilangan berurutan a, b dan c membentuk barisan aritmetika maka terdapat hubungan sebagai berikut :

2b = a + c atau 2 × suku tengah = jumlah suku tepi.

Contoh :

Tentukan nilai p agar suku – suku 3, 4p, 13 membentuk barisan aritmetika.

Jawab :

2(4p)           = 3 + 13

8p                = 16

p                  = 2

Suku Tengah Barisan Aritmetika.

Misalkan suatu barisan aritmetika dengan banyak suku ganjil (2k – 1) dengan k ≥ 2. Suku tengah barisan aritmetika tersebut adalah suku ke – k dan ditentukan dengan rumus

Contoh :

Diberikan barisan aritmetika : 1, 3, 5, ..., 25

a.   Tentukan suku tengahnya.

b.   Suku ke berapakah suku tengahnya.

c.   Tentukan banyak suku barisan tersebut.

Jawab :

a.   Misal banyak suku barisan tersebut ganjil sebesar 2k – 1.

a = 1, b = 2, Un = U2k – 1 = 25

Suku tengah Uk = 13

b.      Uk                     = 13

a + (k – 1)b       = 13

1 + (k – 1)2       = 13

1 + 2k – 2         = 13

2k – 1               = 13

2k                     = 14

k                       = 7

Jadi suku tengahnya merupakan suku ke – 7.

b.   Banyak suku barisan tersebut adalah 2k – 1 = 2(7) – 1 = 13.

Sisipan Barisan Aritmetika.

Di antara dua bilangan x dan y disisipkan k buah bilangan sehingga bilangan – bilangan semula dengan bilangan – bilangan yang disisipkan membentuk barisan aritmetika. Beda barisan yang terbentuk ditentukan dengan rumus

Contoh :

Di antara bilangan 3 dan 90 disisipkan 28 buah bilangan sehingga bilangan – bilangan semula dengan bilangan – bilangan yang disisipkan membentuk barisan aritmetika. Tentukan beda barisan yang terbentuk.

Jawab :

Beda b = 3

Tugas 1. 1  ( Barisan )   
                                                                                

Referensi
http://modulmatematikasmk.blogspot.com/2017/02/barisan-dan-deret-aritmetika.html