BARISAN DAN DERET ARITMETIKA
A. Barisan
Aritmatika
Perhatikan
gambar berikut! Apa pendapatmu tentang gambar tersebui? Jelaskan!
Perhatikan barisan bilangan berikut ini :
a. 1, 3, 5, 7, ..., 99
b. 2, 4, 6, 8, ..., 100
c. 16, 13, 10, 7, ..., - 56.
Dari beberapa barisan bilangan di atas tampak bahwa
antara suku – suku pada barisan itu memiliki pola tertentu yaitu selisih antara
dua suku yang berurutan selalu sama (tetap). Barisan dengan pola tersebut
dinamakan barisan aritmetika. Selisih tetap antara dua suku berurutan disebut
dengan beda (b). Jadi b = U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = .... = Un – Un-1.
Jika suku pertama (U1) dinyatakan a, selisih (beda)
antara dua suku berurutan diberi notasi b dan suku barisan ke-n dilambangkan
dengan Un maka maka bentuk umum barisan arimetika dinyatakan sebagai berikut:
U1 = a = a + 0.b = a +
(1 – 1)b
U2 = U1 + b = a + b = a + 1.b = a + (2 – 1)b
U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2.b = a + (3 – 1)b
U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3.b = a + (4 – 1)b
dst
Jadi rumus suku ke-n barisan aritmatika Un = a + (n – 1)b
dengan b = Un – Un-1 sebuah konstanta yang tidak tergantung dengan nilai n.
Contoh :
1. Tentukan suku pertama, beda, rumus suku
ke-n dan suku ke-12 dari barisan 4, 8, 12, 16, ...
Jawab
:
Suku
pertama U1 = a = 4
Beda
(b) = U2 – U1 = 8 – 4 = 4
Rumus
suku ke-n (Un) = a + (n – 1)b
= 4 + (n –
1)4
= 4 + 4n –
4
= 4n
Suku
ke-12 (U12) = 4.12 = 48
2.
Suatu perusahaan pada tahun pertama memproduksi 5.000 unit barang. Pada tahun
berikutnya produksi turun secara bertahap sebesar 80 unit per tahun. Pada tahun
ke berapa perusahaan tersebut memproduksi 3.000 unit barang.
Jawab
:
Penurunan
produksi bernilai tetap, merupakan
persoalan barisan aritmatika dengan beda (b) =
- 80, a = 5.000 dan Un = 3.000 sehingga didapat
Un = a + (n – 1)b
3.000 = 5.000 + (n – 1).(- 80)
3.000 = 5.000 – 80n + 80
80n = 2.000 + 80
80n = 2.080
n =26
Jadi,
perusahaan memproduksi 3.000 unit barang terjadi pada tahun ke – 26.
3.
Diketahui barisan
aritmetika dengan suku kelima sama dengan 5 dan suku kesepuluh sama dengan 15.
Tentukan suku ke-20 dari barisan tersebut.
Jawab
:
U5 =
5 ® a + (5 – 1)b = 5 ® a + 4b = 5
U10 =
15 ® a + (10 – 1)b = 15 ® a +
9b = 15
---------------- -
-5b =
- 10
b = 2
a + 4b
= 5
a +
4.2= 5
a +
8 = 5
a = - 3
U20 =
a + (20 – 1)b = - 3 + 19.2 = - 3 + 38 = 35
Sifat
Barisan Aritmetika : Jika bilangan berurutan a, b dan c membentuk barisan
aritmetika maka terdapat hubungan sebagai berikut :
2b = a
+ c atau 2 × suku tengah = jumlah suku tepi.
Contoh
:
Tentukan
nilai p agar suku – suku 3, 4p, 13 membentuk barisan aritmetika.
Jawab
:
2(4p) = 3 + 13
8p = 16
p = 2
Suku Tengah Barisan Aritmetika.
Misalkan
suatu barisan aritmetika dengan banyak suku ganjil (2k – 1) dengan k ≥ 2. Suku
tengah barisan aritmetika tersebut adalah suku ke – k dan ditentukan dengan
rumus
Contoh
:
Diberikan
barisan aritmetika : 1, 3, 5, ..., 25
a. Tentukan suku tengahnya.
b. Suku ke berapakah suku tengahnya.
c. Tentukan banyak suku barisan tersebut.
Jawab
:
a.
Misal
banyak suku barisan tersebut ganjil sebesar 2k – 1.
a = 1,
b = 2, Un = U2k – 1 = 25
Suku
tengah Uk = 13
b. Uk = 13
a + (k
– 1)b = 13
1 + (k
– 1)2 = 13
1 + 2k
– 2 = 13
2k –
1 = 13
2k = 14
k = 7
Jadi
suku tengahnya merupakan suku ke – 7.
b. Banyak suku barisan tersebut adalah 2k – 1 = 2(7) – 1 = 13.
Sisipan
Barisan Aritmetika.
Di
antara dua bilangan x dan y disisipkan k buah bilangan sehingga bilangan –
bilangan semula dengan bilangan – bilangan yang disisipkan membentuk barisan
aritmetika. Beda barisan yang terbentuk ditentukan dengan rumus
Contoh
:
Di
antara bilangan 3 dan 90 disisipkan 28 buah bilangan sehingga bilangan –
bilangan semula dengan bilangan – bilangan yang disisipkan membentuk barisan
aritmetika. Tentukan beda barisan yang terbentuk.
Jawab :
Beda b
= 3